Planimetrija ir stereometrija

Plotai, kurių formulių rinkiniuose nėra:

Pitagoro teoremos rinkiniuose taip pat nėra.

Trikampis. Rinkiniuose yra sinusų ir kosinusų teoremos ir ploto formulės: $S = \frac{1}{2}ab \sin C$, Herono formulė $S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$, $S = rp$ ir $S = \frac{abc}{4R}$. Paskutinės dvi padeda rasti įbrėžto ir apibrėžto apskritimų spindulius.

Apskritimas. Įbrėžtinis kampas lygus pusei lanko, į kurį remiasi. Į pusapskritimį įbrėžtas kampas status.

Panašumas. Jei panašumo koeficientas $k$, ilgių santykis $k$, plotų – $k^2$, tūrių – $k^3$.

Kūnai. Rinkiniuose yra ritinio, kūgio, rutulio ir piramidės formulės. Prizmės ir stačiakampio gretasienio tūrio $V = S_{pagr.} \cdot H$ nėra. Stačiakampio gretasienio įstrižainė $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$.

Kursų skirtumai. Skritulio išpjovos formulės yra tik B kurso rinkinyje. Nupjautinio kūgio, nupjautinės piramidės ir rutulio nuopjovos – tik A kurso rinkinyje.

1. Stačiojo trikampio statiniai lygūs 6 ir 8. Rask įžambinę.

Atsakymas: $10$

$\sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.

2. Du trikampio kampai lygūs $50^\circ$ ir $70^\circ$. Kiek laipsnių turi trečiasis?

Atsakymas: $60^\circ$

$180^\circ - 50^\circ - 70^\circ = 60^\circ$.

3. Įbrėžtinis kampas remiasi į $140^\circ$ lanką. Kiek laipsnių turi šis kampas?

Atsakymas: $70^\circ$

Įbrėžtinis kampas lygus pusei lanko, į kurį remiasi: $140^\circ : 2 = 70^\circ$.

4. Apskritimo spindulys lygus 5. Jo ilgis lygus $k\pi$. Rask $k$.

Atsakymas: $10$

$C = 2\pi R = 10\pi$.

5. Skritulio išpjovos spindulys 6, centrinis kampas $60^\circ$. Išpjovos plotas lygus $k\pi$. Rask $k$.

Atsakymas: $6$

$S = \frac{\pi \cdot 36}{360} \cdot 60 = 6\pi$.

6. Lygiagretainio kraštinės lygios 6 ir 10, o kampas tarp jų – $30^\circ$. Rask lygiagretainio plotą.

Atsakymas: $30$

$S = 6 \cdot 10 \cdot \sin 30^\circ = 60 \cdot \frac{1}{2} = 30$.

7. Trapecijos pagrindai lygūs 5 ir 11, aukštinė – 4. Rask trapecijos plotą.

Atsakymas: $32$

$S = \frac{5 + 11}{2} \cdot 4 = 32$.

8. Du trikampiai panašūs, panašumo koeficientas 3. Mažesniojo plotas lygus 4. Rask didesniojo plotą.

Atsakymas: $36$

Panašių figūrų plotų santykis lygus panašumo koeficiento kvadratui: $4 \cdot 3^2 = 36$.

9. Trikampio kraštinės lygios 13, 14 ir 15. Rask jo plotą.

Atsakymas: $84$

Herono formulė: $p = 21$, $S = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{7056} = 84$.

10. Trikampio kraštinės lygios 13, 14 ir 15. Rask į jį įbrėžto apskritimo spindulį.

Atsakymas: $4$

$S = rp$, todėl $r = \frac{84}{21} = 4$.

11. Taisyklingojo šešiakampio kraštinė lygi 4. Rask apie jį apibrėžto apskritimo spindulį.

Atsakymas: $4$

Taisyklingasis šešiakampis sudarytas iš šešių lygiakraščių trikampių, todėl $R$ lygus kraštinei: 4.

12. Rombo įstrižainės lygios 6 ir 8. Rask rombo plotą.

Atsakymas: $24$

$S = \frac{d_1 d_2}{2} = \frac{6 \cdot 8}{2} = 24$.

13. Lygiakraščio trikampio kraštinė lygi 6. Rask jo plotą, atsakymą suapvalink iki dešimtųjų.

Atsakymas: $9\sqrt{3} \approx 15{,}6$

$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 \cdot \sin 60^\circ = 18 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3} \approx 15{,}6$.

14. Kubo briauna lygi 3. Rask kubo tūrį.

Atsakymas: $27$

$V = 3^3 = 27$.

15. Stačiakampio gretasienio matmenys 2, 3 ir 6. Rask jo įstrižainės ilgį.

Atsakymas: $7$

$d = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$.

16. Ritinio pagrindo spindulys 3, aukštinė 5. Ritinio tūris lygus $k\pi$. Rask $k$.

Atsakymas: $45$

$V = \pi R^2 H = \pi \cdot 9 \cdot 5 = 45\pi$.

17. Kūgio pagrindo spindulys 3, aukštinė 4. Šoninio paviršiaus plotas lygus $k\pi$. Rask $k$.

Atsakymas: $15$

Sudaromoji $l = \sqrt{9 + 16} = 5$. $S = \pi R l = 15\pi$.

18. Rutulio spindulys 3. Jo tūris lygus $k\pi$. Rask $k$.

Atsakymas: $36$

$V = \frac{4}{3}\pi \cdot 27 = 36\pi$.

19. Piramidės pagrindas – kvadratas, kurio kraštinė 6, aukštinė lygi 5. Rask piramidės tūrį.

Atsakymas: $60$

$V = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 5 = 60$.

20. Ritinio pagrindo spindulys 2, aukštinė 5. Šoninio paviršiaus plotas lygus $k\pi$. Rask $k$.

Atsakymas: $20$

$S = 2\pi R H = 2\pi \cdot 2 \cdot 5 = 20\pi$.

21. Nupjautinio kūgio pagrindų spinduliai 4 ir 2, aukštinė 3. Jo tūris lygus $k\pi$. Rask $k$.

Atsakymas: $28$

A kurso formulė. $V = \frac{1}{3}\pi H(R^2 + Rr + r^2) = \frac{1}{3}\pi \cdot 3 \cdot (16 + 8 + 4) = 28\pi$.