Lygtys, nelygybės ir apibrėžimo sritis

Kvadratinė lygtis $ax^2 + bx + c = 0$. Diskriminantas $D = b^2 - 4ac$: kai $D > 0$, sprendiniai du, kai $D = 0$ – vienas, kai $D < 0$ – realiųjų sprendinių nėra. Sprendiniai $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$. Pagal Vijeto teoremą $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$, $x_1 x_2 = \frac{c}{a}$.

Rodiklinė lygtis. Abi puses užrašyk tuo pačiu pagrindu ir sulygink rodiklius: $2^{x + 1} = 2^4$, todėl $x + 1 = 4$. Lygtis su $9^x$ ir $3^x$ sprendžiama keitiniu $t = 3^x$, nepamirštant, kad $t > 0$.

Logaritminė lygtis. Pirmiausia užrašyk apibrėžimo sritį: kiekvienas logaritmuojamas reiškinys turi būti teigiamas. Gautus sprendinius palygink su ja.

Iracionalioji lygtis. Pakėlus abi puses kvadratu gali atsirasti pašalinių sprendinių. Kiekvieną sprendinį įstatyk į pradinę lygtį.

Nelygybės. Dauginant ar dalijant iš neigiamo skaičiaus, nelygybės ženklas keičiasi priešingu. Kvadratinę ir trupmeninę nelygybę spręsk intervalų metodu: rask nulius, pažymėk juos skaičių tiesėje ir nustatyk ženklus intervaluose.

Apibrėžimo sritis. Vardiklis $\ne 0$, lyginio laipsnio šaknies pošaknis $\ge 0$, logaritmuojamas reiškinys $> 0$. Kai sąlygų kelios, imama jų sankirta.

Formulių rinkinyje kvadratinės lygties sprendinių formulės nėra nei A, nei B kurso VBE rinkinyje. Ją reikia mokėti.

1. Išspręsk lygtį $3(x - 2) = 2x + 5$.

Atsakymas: $11$

$3x - 6 = 2x + 5$, $x = 11$.

2. Rask didesnįjį lygties $x^2 - 5x + 6 = 0$ sprendinį.

Atsakymas: $3$

Pagal Vijeto teoremą sprendinių suma 5, sandauga 6: tai 2 ir 3.

3. Rask lygties $2x^2 + 3x - 2 = 0$ sprendinių sumą.

Atsakymas: $-1{,}5$

Sprendiniai $x = \frac{-3 \pm 5}{4}$, t. y. $\frac{1}{2}$ ir $-2$. Suma $-1{,}5$. Tą patį duoda Vijeto teorema: $-\frac{b}{a} = -\frac{3}{2}$.

4. Išspręsk lygtį $2^{x + 1} = 16$.

Atsakymas: $3$

$16 = 2^4$, todėl $x + 1 = 4$, $x = 3$.

5. Išspręsk lygtį $\log_3 (2x + 1) = 2$.

Atsakymas: $4$

$2x + 1 = 3^2 = 9$, $x = 4$. Patikrinimas: $2 \cdot 4 + 1 = 9 > 0$.

6. Išspręsk lygtį $\sqrt{x + 7} = x - 5$.

Atsakymas: $9$

Pakėlę kvadratu: $x + 7 = x^2 - 10x + 25$, $x^2 - 11x + 18 = 0$, $x = 9$ arba $x = 2$. Dešinė pusė turi būti neneigiama, todėl $x \ge 5$. Lieka $x = 9$: $\sqrt{16} = 4 = 9 - 5$. Su $x = 2$ gautume $3 = -3$.

7. Lygčių sistemos $x + y = 7$, $2x - y = 2$ sprendinys yra $(x; y)$. Rask sandaugą $xy$.

Atsakymas: $12$

Sudėję lygtis: $3x = 9$, $x = 3$, tada $y = 4$. $xy = 12$.

8. Rask lygties $9^x - 4 \cdot 3^x + 3 = 0$ sprendinių sumą.

Atsakymas: $1$

Pažymime $t = 3^x > 0$: $t^2 - 4t + 3 = 0$, $t = 1$ arba $t = 3$. Tada $x = 0$ arba $x = 1$, suma 1.

9. Išspręsk lygtį $\lg(x + 2) + \lg(x - 1) = 1$.

Atsakymas: $3$

Apibrėžimo sritis $x > 1$. $\lg\big((x + 2)(x - 1)\big) = 1$, todėl $(x + 2)(x - 1) = 10$, $x^2 + x - 12 = 0$, $x = 3$ arba $x = -4$. Sąlygą tenkina tik $x = 3$.

10. Kiek sprendinių turi lygtis $x^2 - 6x + 9 = 0$?

Atsakymas: $1$

$D = 36 - 36 = 0$, todėl sprendinys vienas. Tą patį matyti iš $x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$: $x = 3$.

11. Išspręsk lygtį $\left(\frac{1}{3}\right)^x = 27$.

Atsakymas: $-3$

$\frac{1}{3} = 3^{-1}$, $27 = 3^3$. $3^{-x} = 3^3$, todėl $x = -3$.

12. Kuris intervalas yra nelygybės $5 - 2x > 1$ sprendinių aibė?

A) $(-\infty; 2)$
B) $(2; +\infty)$
C) $(-\infty; -2)$
D) $(-2; +\infty)$

Atsakymas: A) $(-\infty; 2)$

$-2x > -4$. Dalijant iš neigiamo skaičiaus, nelygybės ženklas keičiasi: $x < 2$.

13. Kuri aibė yra nelygybės $x^2 - 4 \le 0$ sprendinių aibė?

A) $(-\infty; -2] \cup [2; +\infty)$
B) $[-2; 2]$
C) $(-2; 2)$
D) $[0; 2]$

Atsakymas: B) $[-2; 2]$

Parabolė $y = x^2 - 4$ kerta $Ox$ ašį taškuose $-2$ ir $2$, šakos nukreiptos į viršų. Neteigiamos reikšmės yra tarp nulių, galai įskaitomi.

14. Kiek sveikųjų sprendinių turi nelygybė $\frac{x + 1}{x - 2} \le 0$?

Atsakymas: $3$

Trupmena neteigiama, kai $-1 \le x < 2$ (taške 2 vardiklis lygus nuliui). Sveikieji skaičiai: $-1$, $0$, $1$.

15. Kuris intervalas yra nelygybės $|x - 3| < 2$ sprendinių aibė?

A) $(1; 5)$
B) $(-5; -1)$
C) $(-\infty; 1) \cup (5; +\infty)$
D) $[1; 5]$

Atsakymas: A) $(1; 5)$

$|x - 3| < 2$ reiškia $-2 < x - 3 < 2$, t. y. $1 < x < 5$. Tai taškai, nutolę nuo 3 mažiau nei per 2.

16. Kuris intervalas yra nelygybės $2^x > 8$ sprendinių aibė?

A) $(3; +\infty)$
B) $(-\infty; 3)$
C) $(8; +\infty)$
D) $[3; +\infty)$

Atsakymas: A) $(3; +\infty)$

$8 = 2^3$. Funkcija $y = 2^x$ didėja, todėl $2^x > 2^3$, kai $x > 3$. Nelygybė griežta, todėl 3 neįeina.

17. Kokia funkcijos $f(x) = \sqrt{6 - 2x}$ apibrėžimo sritis?

A) $[3; +\infty)$
B) $(-\infty; 3)$
C) $(-\infty; 3]$
D) $(-\infty; -3]$

Atsakymas: C) $(-\infty; 3]$

Pošaknis turi būti neneigiamas: $6 - 2x \ge 0$, $x \le 3$.

18. Su kuriomis $x$ reikšmėmis apibrėžta funkcija $f(x) = \frac{1}{x^2 - 9}$?

A) $x \neq 3$
B) $x \neq \pm 3$
C) $x > 3$
D) $x \neq 9$

Atsakymas: B) $x \neq \pm 3$

Vardiklis negali būti nulis: $x^2 - 9 \neq 0$, todėl $x \neq 3$ ir $x \neq -3$.

19. Kokia funkcijos $f(x) = \log_2 (x - 1)$ apibrėžimo sritis?

A) $x \ge 1$
B) $x > 1$
C) $x > 0$
D) $x \neq 1$

Atsakymas: B) $x > 1$

Logaritmuojamas reiškinys turi būti teigiamas: $x - 1 > 0$, $x > 1$.

20. Kokia funkcijos $f(x) = \frac{\sqrt{x + 2}}{x - 1}$ apibrėžimo sritis?

A) $[-2; 1) \cup (1; +\infty)$
B) $(-2; +\infty)$
C) $[-2; +\infty)$
D) $x \neq 1$

Atsakymas: A) $[-2; 1) \cup (1; +\infty)$

Dvi sąlygos: $x + 2 \ge 0$, t. y. $x \ge -2$, ir $x - 1 \ne 0$, t. y. $x \ne 1$. Jų sankirta $[-2; 1) \cup (1; +\infty)$.