Matematikos PUPP 10 klasėje

Pasirenkamojo atsakymo uždaviniuose renkiesi vieną ar kelis atsakymus, sieji poras, dėlioji eilės tvarka arba žymi brėžinyje.

Trumpojo atsakymo uždaviniuose į laukelį įrašai skaičių, kelis skaičius ar raidę.

Pilnojo sprendimo uždaviniuose sprendimą ar įrodymą rašai sprendimo lauke, naudodamasis įrankių juosta, o atsakymą – atskirame laukelyje. Šie uždaviniai verti beveik trečdalio visų taškų.

Gali būti uždavinių iš viso 9 (I gimnazijos) klasės turinio. Iš 10 klasės neįtraukiama sritis „Duomenys ir tikimybės“, visos kitos 10 klasės temos gali būti.

Pagal gebėjimus taškai skirstomi taip: žinios ir supratimas – 35 %, taikymas – 50 %, aukštesnieji mąstymo gebėjimai – 15 %. Pagal pasiekimų lygius: slenkstinis – 35 %, patenkinamas – 15 %, pagrindinis – 35 %, aukštesnysis – 15 %.

Per patikrinimą gausi išspausdintą formulių rinkinį. Jame yra:

• greitosios daugybos formulės: $(a \pm b)^2$ ir $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$;
• laipsnių savybės, kvadratinių ir kubinių šaknų sandauga ir dalmuo;
• sudėtinių procentų formulė $S_n = S_0\left(1 \pm \frac{p}{100}\right)^n$;
• kvadratinės lygties sprendinių formulė ir kvadratinio trinario skaidymas $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$;
• tiesės per du taškus krypties koeficientas $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$;
• parabolės viršūnės abscisė $x = -\frac{b}{2a}$;
• $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, $\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ ir reikšmių lentelė kampams nuo $30^\circ$ iki $150^\circ$;
• sinusų ir kosinusų teoremos, trikampio ploto formulės, įskaitant Herono;
• daugiakampio kampų suma $180^\circ(n - 2)$;
• skritulio išpjovos lanko ilgis ir plotas.

Rinkinyje nėra Pitagoro teoremos, apskritimo ilgio ir skritulio ploto, stačiakampio, lygiagretainio ir trapecijos plotų, kūnų tūrių ir smailiojo kampo sinuso, kosinuso ir tangento apibrėžimų. Juos reikia mokėti.

Pasirenkamojo atsakymo ir dalį trumpojo atsakymo uždavinių sistema vertina automatiškai. Kitus trumpojo atsakymo ir visus pilnojo sprendimo uždavinius tikrina vertintojai.

Ketvertui reikia 17 taškų iš 50, dešimtukui – 47.

1. Dalyvauk bandomajame patikrinime kovo 18 d. Tai geriausias būdas išbandyti elektroninę sistemą ir sprendimo lauko įrankių juostą prieš tikrą patikrinimą.
2. Spręsk ankstesnių metų užduotis. NŠA jas skelbia BETA sistemoje (beta.etestavimas.lt).
3. Pilnojo sprendimo uždavinius rašyk žingsniais. Jie verti 16 taškų, o vertintojas gali skirti taškų ir už teisingą sprendimo pradžią.
4. Pasikartok 9 klasės temas. Jos visos gali būti užduotyje.

Toliau – 15 uždavinių su sprendimais. Juos sukūrėme patys pagal oficialų aprašą, tai ne patikrinimo užduotys.

1. Apskaičiuok $\frac{2}{3} + \frac{5}{6}$. Atsakymą užrašyk dešimtaine trupmena.

Atsakymas: $1{,}5$

$\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$, todėl $\frac{4}{6} + \frac{5}{6} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} = 1{,}5$.

2. Išspręsk lygtį $3(x + 4) - 2x = 20$.

Atsakymas: $8$

$3x + 12 - 2x = 20$, $x + 12 = 20$, $x = 8$.

3. Kuri skaičių pora yra lygčių sistemos $x + 2y = 8$, $x - y = 2$ sprendinys?

A) $(4; 2)$
B) $(2; 4)$
C) $(6; 1)$
D) $(3; 1)$

Atsakymas: A) $(4; 2)$

Iš antrosios lygties atėmę pirmąją: $3y = 6$, $y = 2$. Tada $x = 2 + y = 4$. Pora $(6; 1)$ tenkina tik pirmąją lygtį.

4. Rask mažesnįjį lygties $x^2 - 7x + 10 = 0$ sprendinį.

Atsakymas: $2$

Ieškome dviejų skaičių, kurių suma 7, o sandauga 10: tai 2 ir 5. Mažesnis – 2.

5. Rask mažiausią funkcijos $y = x^2 - 4x + 3$ reikšmę.

Atsakymas: $-1$

Parabolės šakos nukreiptos į viršų, viršūnės abscisė $x = \frac{4}{2} = 2$. $y(2) = 4 - 8 + 3 = -1$.

6. Stačiojo trikampio statinis lygus 9 cm, o prieš jį esantis kampas – $30^\circ$. Rask įžambinę (cm).

Atsakymas: 18 cm

Statinis prieš $30^\circ$ kampą lygus pusei įžambinės: $c = 2 \cdot 9 = 18$ cm. Arba $\sin 30^\circ = \frac{9}{c}$, $c = 9 : \frac{1}{2} = 18$.

7. Prekė be PVM kainuoja 50 €. PVM – 21 %. Kiek eurų prekė kainuoja su PVM?

Atsakymas: 60,50 €

$50 \cdot 1{,}21 = 60{,}5$ €.

8. Apskritimo skersmuo lygus 10 cm. Rask apskritimo ilgį centimetrais, atsakymą suapvalink iki dešimtųjų.

Atsakymas: 31,4 cm

$C = \pi d = 10\pi \approx 31{,}4$ cm.

9. Dviejų teigiamų skaičių suma lygi 30, o sandauga – 216. Rask didesnįjį skaičių.

Atsakymas: $18$

Tegul vienas skaičius $x$, kitas $30 - x$. $x(30 - x) = 216$, $x^2 - 30x + 216 = 0$. $D = 900 - 864 = 36$, $x = \frac{30 \pm 6}{2}$, taigi $x = 18$ arba $x = 12$. Skaičiai yra 12 ir 18. Pilnojo sprendimo uždavinyje reikėtų užrašyti visus šiuos žingsnius.

10. Apskaičiuok $\frac{3^5 \cdot 3^{-2}}{3^2}$.

Atsakymas: $3$

Rodikliai: $5 + (-2) - 2 = 1$, todėl reiškinys lygus $3^1 = 3$.

11. Kuriam reiškiniui lygus $x^2 - x - 6$?

A) $(x - 3)(x + 2)$
B) $(x + 3)(x - 2)$
C) $(x - 6)(x + 1)$
D) $(x - 3)(x - 2)$

Atsakymas: A) $(x - 3)(x + 2)$

Lygties $x^2 - x - 6 = 0$ sprendiniai $x_1 = 3$, $x_2 = -2$. Pagal skaidymo formulę $x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)$. Patikrinimas: $x^2 + 2x - 3x - 6$.

12. Tiesė eina per taškus $(1; 2)$ ir $(3; 8)$. Jos lygtis $y = kx + b$. Rask $b$.

Atsakymas: $-1$

$k = \frac{8 - 2}{3 - 1} = 3$. Įstatę tašką $(1; 2)$: $2 = 3 \cdot 1 + b$, $b = -1$.

13. Kiek laipsnių turi taisyklingojo šešiakampio vienas kampas?

Atsakymas: $120^\circ$

Kampų suma $180^\circ \cdot (6 - 2) = 720^\circ$. Taisyklingojo šešiakampio kampai lygūs: $720^\circ : 6 = 120^\circ$.

14. Apskaičiuok $\cos 120^\circ$.

Atsakymas: $-0{,}5$

Iš formulių rinkinio lentelės $\cos 120^\circ = -\frac{1}{2} = -0{,}5$. Bukojo kampo kosinusas neigiamas.

15. Telefonas kainavo 400 €. Kasmet jo kaina sumažėja 10 %. Kiek eurų jis kainuos po 2 metų?

Atsakymas: 324 €

Sudėtiniai procentai: $400 \cdot 0{,}9^2 = 400 \cdot 0{,}81 = 324$ €. Ne $400 - 2 \cdot 40 = 320$ €, nes antrais metais 10 % skaičiuojama nuo 360 €.