Matematika 9-12 klasė

1. Veiksmai su skaičiais ir skaičių aibės

Čia pradėsime kelionę po matematikos pasaulį nuo pačių pagrindų. Suprasti skaičius ir kaip su jais elgtis yra labai svarbu, nes tai bus reikalinga visose kitose temose. Nebijok, jei kas nors atrodys sudėtinga – viską išsiaiškinsime kartu!

1. Skaičių Pasaulis: Susipažinkime su Skaičių "Komandomis" (Aibėmis)

Įsivaizduok, kad skaičiai, kaip ir žmonės, mėgsta buriuotis į komandas arba gyventi skirtinguose "nameliuose". Matematikoje tokias skaičių grupes vadiname aibėmis. Susipažinkime su pagrindinėmis komandomis:

1.1. Natūralieji Skaičiai ($\mathbb{N}$) – Skaičiavimo Pradžia

Tai patys pirmieji skaičiai, kuriuos išmokstame vaikystėje. Jais skaičiuojame daiktus: obuolius, kėdes, draugus.

  • Kas jie? $1, 2, 3, 4, 5, ...$ (ir taip toliau iki begalybės).
  • Kodėl "natūralieji"? Nes jie natūraliai atsiranda, kai pradedame skaičiuoti.
  • Pavyzdžiai: Turi 3 saldainius; klasėje yra 20 mokinių.
  • Simbolis: $\mathbb{N}$ (raidė N su dvigubu brūkšneliu).
  • Svarbu: Kartais prie natūraliųjų skaičių priskiriamas ir nulis (0), bet mokyklinėje matematikoje dažniausiai sutariama, kad natūralieji prasideda nuo 1. Mes laikysimės, kad nulis (0) NĖRA natūralusis skaičius, nebent bus pasakyta kitaip.

1.2. Sveikieji Skaičiai ($\mathbb{Z}$) – Kai Atsiranda "Minus" ir Nulis

Kai pradedame kalbėti apie temperatūrą žiemą (pvz., -5 laipsniai šalčio) arba apie skolas, mums prireikia neigiamų skaičių. Taip pat svarbus yra ir nulis.

  • Kas jie? Visi natūralieji skaičiai (pvz., $1, 2, 3, ...$), jų "priešingi draugai" su minuso ženklu (pvz., $-1, -2, -3, ...$) ir nulis ($0$).
  • Kitaip tariant: $..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...$
  • Pavyzdžiai: Termometras rodo $-10^\circ C$; esi skolingas 2 eurus (galima sakyti, turi $-2$ eurus); neturi obuolių (turi 0 obuolių).
  • Simbolis: $\mathbb{Z}$ (nuo vokiško žodžio "Zahlen", reiškiančio "skaičiai").

1.3. Racionalieji Skaičiai ($\mathbb{Q}$) – Trupmenos ir Dalys

Įsivaizduok, kad daliji picą į kelias dalis. Viena dalis jau nebebus visas daiktas, o tik jo dalis. Tokiems skaičiams reikalingos trupmenos.

  • Kas jie? Visi skaičiai, kuriuos galima užrašyti kaip trupmeną $\frac{m}{n}$, kur $m$ yra sveikasis skaičius, o $n$ yra natūralusis skaičius (t.y. $n$ negali būti nulis!).
  • Ką tai reiškia paprastai?
    • Visi sveikieji skaičiai yra racionalieji (nes, pvz., $3$ galima užrašyti kaip $\frac{3}{1}$; $-2$ kaip $\frac{-2}{1}$).
    • Visos paprastosios trupmenos (pvz., $\frac{1}{2}$, $\frac{3}{4}$, $-\frac{2}{5}$).
    • Visos baigtinės dešimtainės trupmenos (pvz., $0.5$, kas yra tas pats kaip $\frac{1}{2}$; $2.75$, kas yra $\frac{275}{100}$ arba $\frac{11}{4}$).
    • Visos begalinės periodinės dešimtainės trupmenos (pvz., $0.333...$, kas yra $\frac{1}{3}$; $0.121212...$, kas yra $\frac{12}{99}$ arba $\frac{4}{33}$). "Periodinė" reiškia, kad kažkokia skaitmenų grupė po kablelio kartojasi be galo.
  • Simbolis: $\mathbb{Q}$ (nuo angliško žodžio "Quotient", reiškiančio "dalmuo").

1.4. Iracionalieji Skaičiai ($\mathbb{I}$) – Paslaptingieji Skaičiai

Yra skaičių, kurių niekaip nepavyks tiksliai užrašyti paprasta trupmena $\frac{m}{n}$. Jų dešimtainė išraiška yra begalinė ir niekada nesikartoja tvarkingai (nėra periodo).

  • Kas jie? Skaičiai, kurie nėra racionalieji.
  • Pavyzdžiai:
    • $\pi$ (Pi) – garsusis skaičius, susijęs su apskritimu, maždaug lygus $3.14159265...$ (skaitmenys po kablelio tęsiasi be galo ir nesikartoja).
    • $\sqrt{2}$ (kvadratinė šaknis iš dviejų) – skaičius, kurį padauginus iš savęs, gautume 2. Jis maždaug lygus $1.41421356...$
    • $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$ (ir daugelis kitų šaknų iš skaičių, kurie nėra tikslūs kvadratai).
  • Simbolis: $\mathbb{I}$

1.5. Realieji Skaičiai ($\mathbb{R}$) – Visi Kartu!

Tai pati didžiausia skaičių "komanda", apie kurią dažniausiai kalbame mokykloje. Ji apima visus anksčiau minėtus skaičius.

  • Kas jie? Visi racionalieji skaičiai ($\mathbb{Q}$) ir visi iracionalieji skaičiai ($\mathbb{I}$) kartu sudėjus.
  • Kitaip tariant: Jei galėtume pažymėti visus įmanomus taškus skaičių tiesėje (tokia linija su skaičiais), tai visi tie taškai ir būtų realieji skaičiai.
  • Simbolis: $\mathbb{R}$

Štai kaip tai atrodo schemoje:

graph TD R(Realieji ℝ) --> Q(Racionalieji ℚ) R --> I(Iracionalieji 𝕀) Q --> Z(Sveikieji ℤ) Z --> N(Natūralieji ℕ)

Čia matome, kad natūralieji skaičiai yra dalis sveikųjų, sveikieji yra dalis racionaliųjų, o racionalieji ir iracionalieji kartu sudaro realiuosius skaičius.

Uždavinukas 1: Kurioms skaičių aibėms (N, Z, Q, I, R) priklauso šie skaičiai? a) $7$ b) $-15$ c) $0.25$ d) $\frac{5}{3}$ e) $\sqrt{16}$ f) $\sqrt{7}$ g) $0$

Galvojame kartu ir sprendžiame:

a) Skaičius 7: * Ar galime juo skaičiuoti daiktus? Taip (pvz., 7 dienos). Vadinasi, jis yra natūralusis ($\mathbb{N}$). * Jei jis natūralusis, jis automatiškai yra ir sveikasis ($\mathbb{Z}$). * Ar jį galima užrašyti kaip trupmeną? Taip, $7 = \frac{7}{1}$. Vadinasi, jis yra racionalusis ($\mathbb{Q}$). * Jei jis racionalusis, jis negali būti iracionalusis. * Visi šie skaičiai yra realieji ($\mathbb{R}$). * Atsakymas: $7 \in \mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}$

b) Skaičius -15: * Ar natūralusis? Ne, nes su minusu. * Ar sveikasis? Taip, nes tai natūralusis skaičius su minuso ženklu. Tad jis yra sveikasis ($\mathbb{Z}$). * Ar racionalusis? Taip, nes $-15 = \frac{-15}{1}$. Tad jis yra racionalusis ($\mathbb{Q}$). * Ar iracionalusis? Ne. * Ar realusis? Taip. * Atsakymas: $-15 \in \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}$

c) Skaičius 0.25: * Ar natūralusis? Ne. * Ar sveikasis? Ne, nes turi dalį po kablelio. * Ar racionalusis? Taip, nes $0.25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$. Tai baigtinė dešimtainė trupmena. Tad jis yra racionalusis ($\mathbb{Q}$). * Ar iracionalusis? Ne. * Ar realusis? Taip. * Atsakymas: $0.25 \in \mathbb{Q}, \mathbb{R}$

d) Skaičius $\frac{5}{3}$: * Ar natūralusis? Ne, nes $5$ nesidalija iš $3$ be liekanos. Tai $1$ ir $\frac{2}{3}$. * Ar sveikasis? Ne. * Ar racionalusis? Taip, nes jis jau užrašytas kaip trupmena. Tad jis yra racionalusis ($\mathbb{Q}$). (Beje, $\frac{5}{3} = 1.666...$, tai begalinė periodinė dešimtainė trupmena). * Ar iracionalusis? Ne. * Ar realusis? Taip. * Atsakymas: $\frac{5}{3} \in \mathbb{Q}, \mathbb{R}$

e) Skaičius $\sqrt{16}$: * Pirmiausia, apskaičiuokime! Koks skaičius, padaugintas iš savęs, duoda 16? Tai 4. Taigi $\sqrt{16} = 4$. * Dabar žiūrime į skaičių 4: * Ar natūralusis? Taip. * Ar sveikasis? Taip. * Ar racionalusis? Taip ($\frac{4}{1}$). * Ar iracionalusis? Ne. * Ar realusis? Taip. * Atsakymas: $\sqrt{16} \in \mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}$

f) Skaičius $\sqrt{7}$: * Ar yra toks sveikasis skaičius, kurį padauginus iš savęs gautume 7? Nėra ($2 \cdot 2 = 4$, $3 \cdot 3 = 9$). * Vadinasi, $\sqrt{7}$ negalima užrašyti kaip paprastos trupmenos. Jo dešimtainė išraiška bus begalinė ir neperiodinė. * Ar natūralusis? Ne. * Ar sveikasis? Ne. * Ar racionalusis? Ne. * Ar iracionalusis? Taip. Tad jis yra iracionalusis ($\mathbb{I}$). * Ar realusis? Taip. * Atsakymas: $\sqrt{7} \in \mathbb{I}, \mathbb{R}$

g) Skaičius 0: * Ar natūralusis? Ne (pagal mūsų susitarimą). * Ar sveikasis? Taip. Tad jis yra sveikasis ($\mathbb{Z}$). * Ar racionalusis? Taip ($0 = \frac{0}{1}$). Tad jis yra racionalusis ($\mathbb{Q}$). * Ar iracionalusis? Ne. * Ar realusis? Taip. * Atsakymas: $0 \in \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}$

2. Veiksmai su Trupmenomis – Nebijokime Dalių!

Trupmenos kartais atrodo baisios, bet iš tiesų jos labai logiškos. Įsivaizduokime picą!

2.1. Kas yra paprastoji trupmena?

Paprastoji trupmena atrodo taip: $\frac{\text{Skaitiklis}}{\text{Vardiklis}}$

  • Vardiklis (apačioje) rodo, į kiek lygių dalių padalintas visas daiktas (pvz., pica). Jis negali būti 0, nes negalima dalinti į nulį dalių!
  • Skaitiklis (viršuje) rodo, kiek tokių dalių mes turime arba paėmėme.
  • Trupmenos brūkšnys reiškia dalybos veiksmą. Pvz., $\frac{3}{4}$ reiškia $3:4$.

Rūšys:

  • Taisyklingoji trupmena: Skaitiklis mažesnis už vardiklį (pvz., $\frac{2}{5}$). Ji reiškia mažiau nei vieną visą daiktą.
  • Netaisyklingoji trupmena: Skaitiklis didesnis arba lygus vardikliui (pvz., $\frac{7}{4}$, $\frac{3}{3}$). Ji reiškia vieną arba daugiau nei vieną visą daiktą.
  • Mišrusis skaičius: Susideda iš sveikosios dalies ir taisyklingosios trupmenos (pvz., $1\frac{3}{4}$). Tai kitas būdas užrašyti netaisyklingąją trupmeną, kuri didesnė už 1.
    • Kaip paversti netaisyklingąją trupmeną mišriuoju skaičiumi? Padalink skaitiklį iš vardiklio. Sveika dalis bus sveikoji mišriojo skaičiaus dalis, liekana bus naujos trupmenos skaitiklis, o vardiklis liks tas pats. Pvz., $\frac{7}{4}$: $7:4 = 1$ (liekana $3$). Tai $1\frac{3}{4}$.
    • Kaip paversti mišrųjį skaičių netaisyklingąja trupmena? Padaugink sveikąją dalį iš vardiklio ir pridėk skaitiklį. Tai bus naujas skaitiklis, o vardiklis liks tas pats. Pvz., $2\frac{1}{3}$: $(2 \cdot 3) + 1 = 6 + 1 = 7$. Tai $\frac{7}{3}$.

Uždavinukas 2: a) Pica padalinta į 8 lygias dalis. Suvalgei 5 dalis. Kokia trupmena tai išreiškia? Ar ji taisyklingoji? b) Paversk netaisyklingąją trupmeną $\frac{11}{3}$ mišriuoju skaičiumi. c) Paversk mišrųjį skaičių $3\frac{2}{5}$ netaisyklingąja trupmena.

Sprendimas: a) Iš 8 dalių paimtos 5 dalys, tai trupmena yra $\frac{5}{8}$. Skaitiklis (5) mažesnis už vardiklį (8), todėl ji yra taisyklingoji. b) $\frac{11}{3}$: Dalijame $11$ iš $3$. $11:3 = 3$ ir lieka $2$ (nes $3 \cdot 3 = 9$, o $11-9=2$). Taigi, $\frac{11}{3} = 3\frac{2}{3}$. c) $3\frac{2}{5}$: $(3 \cdot 5) + 2 = 15 + 2 = 17$. Taigi, $3\frac{2}{5} = \frac{17}{5}$.

2.2. Trupmenų prastinimas ir plėtimas

  • Pagrindinė trupmenos savybė: Trupmenos reikšmė nepasikeičia, jei jos skaitiklį ir vardiklį padauginsime arba padalinsime iš to paties natūraliojo skaičiaus. $\frac{a}{b} = \frac{a \cdot k}{b \cdot k}$ (plėtimas) $\frac{a}{b} = \frac{a : k}{b : k}$ (prastinimas)

  • Prastinimas: Kai skaitiklį ir vardiklį dalijame iš jų bendro daliklio (geriausia – didžiausio bendro daliklio, DBD). Trupmena tampa "paprastesnė".

    • Pavyzdys: Suprastink $\frac{12}{18}$.
    • Galvojame kartu: "Iš kokio didžiausio skaičiaus dalijasi ir 12, ir 18? Iš 6. $12 : 6 = 2$ $18 : 6 = 3$ Tai $\frac{12}{18} = \frac{2}{3}$." (Galima prastinti ir palaipsniui, pvz., pirma iš 2, paskui iš 3).

  • Plėtimas: Kai skaitiklį ir vardiklį dauginame iš to paties skaičiaus. Tai dažniausiai daroma norint suvienodinti trupmenų vardiklius prieš sudėtį ar atimtį.

    • Pavyzdys: Išplėsk trupmeną $\frac{3}{5}$ taip, kad jos vardiklis būtų 15.
    • Galvojame kartu: "Dabartinis vardiklis yra 5, norime gauti 15. Iš kiek reikia padauginti 5, kad gautume 15? $15 : 5 = 3$. Vadinasi, ir skaitiklį, ir vardiklį dauginame iš 3. $\frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{9}{15}$."

2.3. Trupmenų sudėtis ir atimtis

Taisyklė Nr. 1: Jei vardikliai vienodi: Sudedame (arba atimame) skaitiklius, o vardiklis lieka tas pats. $\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c}$ $\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a-b}{c}$

  • Pavyzdys: $\frac{2}{7} + \frac{3}{7} = ?$

  • Galvojame kartu: "Vardikliai vienodi (7). Sudedame skaitiklius: $2+3=5$. Vardiklis lieka 7. Atsakymas: $\frac{5}{7}$."

  • Pavyzdys: $1\frac{1}{4} + 2\frac{2}{4} = ?$

  • Galvojame kartu: "Sudedame sveikas dalis: $1+2=3$. Sudedame trupmenines dalis: $\frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{1+2}{4} = \frac{3}{4}$. Atsakymas: $3\frac{3}{4}$."

Taisyklė Nr. 2: Jei vardikliai skirtingi:

  1. Randame bendrą vardiklį. Geriausia rasti mažiausią bendrą kartotinį (MBK).
    • Kaip rasti MBK (pvz., 6 ir 8)?
      • Skaičių 6 kartotiniai: 6, 12, 18, 24, 30...
      • Skaičių 8 kartotiniai: 8, 16, 24, 32...
      • MBK(6, 8) = 24.
  2. Išplečiame kiekvieną trupmeną taip, kad jos vardiklis taptų lygus bendram vardikliui. Kiekvienos trupmenos skaitiklį dauginame iš to paties skaičiaus, iš kurio padauginome jos vardiklį.
  3. Atliekame sudėtį ar atimtį kaip su vienodais vardikliais.
  4. Jei reikia, suprastiname gautą trupmeną arba paverčiame mišriuoju skaičiumi.

  • Pavyzdys: $\frac{1}{6} + \frac{3}{8} = ?$

  • Galvojame kartu:

    1. Vardikliai 6 ir 8. Jų MBK yra 24.
    2. Plečiame pirmą trupmeną: kad vardiklis 6 taptų 24, reikia dauginti iš $24:6=4$. $\frac{1 \cdot 4}{6 \cdot 4} = \frac{4}{24}$.
    3. Plečiame antrą trupmeną: kad vardiklis 8 taptų 24, reikia dauginti iš $24:8=3$. $\frac{3 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{9}{24}$.
    4. Dabar sudedame: $\frac{4}{24} + \frac{9}{24} = \frac{4+9}{24} = \frac{13}{24}$.
    5. $\frac{13}{24}$ yra nesuprastinama. Atsakymas: $\frac{13}{24}$.

  • Pavyzdys su atimtimi ir mišriaisiais skaičiais: $3\frac{1}{2} - 1\frac{2}{3} = ?$

  • Galvojame kartu:

    1. Pirmiausia, galime atimti sveikas dalis, bet matome, kad trupmeninė dalis $\frac{1}{2}$ yra mažesnė už $\frac{2}{3}$, tad bus nepatogu. Geriau paverskime mišriuosius skaičius netaisyklingosiomis trupmenomis. $3\frac{1}{2} = \frac{(3 \cdot 2)+1}{2} = \frac{7}{2}$ $1\frac{2}{3} = \frac{(1 \cdot 3)+2}{3} = \frac{5}{3}$ Turime: $\frac{7}{2} - \frac{5}{3}$.
    2. Vardikliai 2 ir 3. Jų MBK yra 6.
    3. Plečiame pirmą trupmeną: $\frac{7 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{21}{6}$.
    4. Plečiame antrą trupmeną: $\frac{5 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{10}{6}$.
    5. Atimame: $\frac{21}{6} - \frac{10}{6} = \frac{21-10}{6} = \frac{11}{6}$.
    6. Paverčiame mišriuoju skaičiumi: $11:6 = 1$ (liekana $5$). Atsakymas: $1\frac{5}{6}$.

2.4. Trupmenų daugyba

Dauginant trupmenas, viskas daug paprasčiau nei sudedant! Taisyklė: Skaitiklį dauginame iš skaitiklio, o vardiklį iš vardiklio. $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$

  • Prieš dauginant, galima (ir rekomenduojama) prastinti! Galima prastinti vienos trupmenos skaitiklį su jos pačios vardikliu ARBA vienos trupmenos skaitiklį su kitos trupmenos vardikliu (tai vadinama "kryžminiu prastinimu").

  • Pavyzdys: $\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{8} = ?$

  • Galvojame kartu (be prastinimo iškart): $4 \cdot 3 = 12$ $5 \cdot 8 = 40$ Gauname $\frac{12}{40}$. Dabar prastiname. Ir 12, ir 40 dalijasi iš 4. $12:4 = 3$ $40:4 = 10$ Atsakymas: $\frac{3}{10}$.

  • Galvojame kartu (su prastinimu prieš daugybą): Žiūrime į $\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{8}$. Ar 4 prastinasi su 5? Ne. Ar 3 prastinasi su 8? Ne. Dabar žiūrime "kryžmai". Ar 4 prastinasi su 8? Taip, abu dalijasi iš 4. $4:4=1$ $8:4=2$ Trupmenos tampa: $\frac{1}{5} \cdot \frac{3}{2}$. Ar 3 prastinasi su 5? Ne. Dabar dauginame: $\frac{1 \cdot 3}{5 \cdot 2} = \frac{3}{10}$. Gavome tą patį, bet lengviau!

  • Jei dauginame sveiką skaičių iš trupmenos: Sveiką skaičių pasiverčiame trupmena su vardikliu 1. Pvz., $6 \cdot \frac{2}{3} = \frac{6}{1} \cdot \frac{2}{3}$. Prastiname 6 ir 3 iš 3: $6:3=2$, $3:3=1$. Turime $\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{1} = \frac{2 \cdot 2}{1 \cdot 1} = \frac{4}{1} = 4$.

  • Jei dauginame mišriuosius skaičius: Pirmiausia juos paverčiame netaisyklingosiomis trupmenomis. Pvz., $1\frac{1}{2} \cdot 2\frac{2}{3} = \frac{3}{2} \cdot \frac{8}{3}$. Prastiname 3 su 3 (lieka 1 ir 1). Prastiname 2 su 8 (lieka 1 ir 4). Turime $\frac{1}{1} \cdot \frac{4}{1} = \frac{1 \cdot 4}{1 \cdot 1} = 4$.

2.5. Trupmenų dalyba

Taisyklė: Norint padalyti vieną trupmeną iš kitos, pirmąją trupmeną dauginame iš antrosios atvirkštinės trupmenos. Atvirkštinė trupmena $\frac{c}{d}$ yra $\frac{d}{c}$ (tiesiog apverčiame). $\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$

  • Pavyzdys: $\frac{2}{3} : \frac{4}{5} = ?$

  • Galvojame kartu:

    1. Pirma trupmena $\frac{2}{3}$ lieka.
    2. Dalybos ženklą keičiame daugyba.
    3. Antrą trupmeną $\frac{4}{5}$ apverčiame į $\frac{5}{4}$.
    4. Turime daugybą: $\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{4}$.
    5. Prieš dauginant prastiname: 2 ir 4 dalijasi iš 2. $2:2=1$, $4:2=2$.
    6. Gauname $\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{2} = \frac{1 \cdot 5}{3 \cdot 2} = \frac{5}{6}$.

  • Jei dalijame iš sveiko skaičiaus: Sveiką skaičių pasiverčiame trupmena su vardikliu 1. Pvz., $\frac{3}{4} : 2 = \frac{3}{4} : \frac{2}{1} = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 1}{4 \cdot 2} = \frac{3}{8}$.

  • Jei dalyba su mišriaisiais skaičiais: Pirmiausia juos paverčiame netaisyklingosiomis trupmenomis. Pvz., $2\frac{1}{3} : 1\frac{1}{6} = \frac{7}{3} : \frac{7}{6} = \frac{7}{3} \cdot \frac{6}{7}$. Prastiname 7 su 7 (lieka 1 ir 1). Prastiname 3 su 6 (lieka 1 ir 2). Turime $\frac{1}{1} \cdot \frac{2}{1} = 2$.

2.6. Veiksmai su dešimtainėmis trupmenomis

Dešimtainės trupmenos yra tiesiog kitas būdas užrašyti trupmenas, kurių vardikliai yra 10, 100, 1000 ir t.t. Pavyzdžiui, $0.7 = \frac{7}{10}$, $0.23 = \frac{23}{100}$.

Sudėtis ir atimtis: Rašome skaičius stulpeliu taip, kad kablelis būtų po kableliu. Tada sudedame ar atimame kaip įprastus sveikus skaičius, o kablelį atsakyme parašome toje pačioje vietoje. Jei po kablelio trūksta skaitmenų, galime įsivaizduoti (arba prirašyti) nulius.

  • Pavyzdys (sudėtis): $3.45 + 12.8 = ?$

  • Galvojame kartu:

    3.45 +12.80 (prirašėm 0 gale, kad būtų patogiau) ------- 16.25

    Atsakymas: $16.25$.

  • Pavyzdys (atimtis): $15.2 - 4.56 = ?$

  • Galvojame kartu:

    15.20 (prirašėm 0) - 4.56 ------- 10.64

    Atsakymas: $10.64$.

Daugyba:

  1. Dauginame skaičius nekreipdami dėmesio į kablelius (tarsi jie būtų sveiki skaičiai).
  2. Suskaičiuojame, kiek iš viso buvo skaitmenų po kablelio abiejuose dauginamuosiuose.
  3. Gautoje sandaugoje iš dešinės pusės atskiriame tiek skaitmenų kableliu, kiek suskaičiavome 2 punkte. Jei trūksta skaitmenų, iš kairės prirašome nulių.

  • Pavyzdys: $2.3 \cdot 1.4 = ?$

  • Galvojame kartu:

    1. Dauginame $23 \cdot 14$: 23 x 14 ---- 92 (23 * 4) +230 (23 * 10) ---- 322
    2. Skaičiuje $2.3$ yra 1 skaitmuo po kablelio. Skaičiuje $1.4$ yra 1 skaitmuo po kablelio. Iš viso $1+1=2$ skaitmenys po kablelio.
    3. Sandaugoje $322$ iš dešinės atskiriame 2 skaitmenis: $3.22$. Atsakymas: $3.22$.

  • Pavyzdys: $0.03 \cdot 0.2 = ?$

  • Galvojame kartu:

    1. Dauginame $3 \cdot 2 = 6$.
    2. Skaičiuje $0.03$ yra 2 skaitmenys po kablelio. Skaičiuje $0.2$ yra 1 skaitmuo po kablelio. Iš viso $2+1=3$ skaitmenys po kablelio.
    3. Sandaugoje $6$ reikia atskirti 3 skaitmenis. Kadangi turime tik vieną (6), iš kairės prirašome du nulius: $0.006$. Atsakymas: $0.006$.

Dalyba:

  • Jei dalijame iš sveiko skaičiaus: Dalijame kaip įprasta. Kai dalinyje "pereiname" per kablelį, tą kablelį iškart parašome ir dalmenyje (atsakyme).

    • Pavyzdys: $7.5 : 3 = ?$
    • Galvojame kartu: $7 : 3 = 2$ (liekana $1$). Parašome $2$ ir kablelį. Prie liekanos $1$ "nuleidžiame" $5$, gauname $15$. $15 : 3 = 5$. Atsakymas: $2.5$.

  • Jei dalijame iš dešimtainės trupmenos:

    1. Daliklį (skaičių, iš kurio dalijame) padarome sveikuoju skaičiumi, pastumdami kablelį per tiek vietų į dešinę, kiek reikia.
    2. Per tiek pat vietų į dešinę pastumiame kablelį ir dalinyje (skaičiuje, kurį dalijame). Jei trūksta skaitmenų, prirašome nulių.
    3. Dalijame kaip iš sveiko skaičiaus (pagal ankstesnę taisyklę).

    • Pavyzdys: $8.4 : 0.2 = ?$

    • Galvojame kartu:

      1. Daliklis $0.2$. Pastumiame kablelį per 1 vietą į dešinę, gauname $2$.
      2. Dalinyje $8.4$ taip pat pastumiame kablelį per 1 vietą į dešinę, gauname $84$.
      3. Dalijame $84 : 2 = 42$. Atsakymas: $42$.

    • Pavyzdys: $0.36 : 0.04 = ?$

    • Galvojame kartu:

      1. Daliklis $0.04$. Pastumiame kablelį per 2 vietas į dešinę, gauname $4$.
      2. Dalinyje $0.36$ pastumiame kablelį per 2 vietas į dešinę, gauname $36$.
      3. Dalijame $36 : 4 = 9$. Atsakymas: $9$.

    • Pavyzdys: $5 : 0.25 = ?$

    • Galvojame kartu:

      1. Daliklis $0.25$. Pastumiame kablelį per 2 vietas į dešinę, gauname $25$.
      2. Dalinyje $5$ (tai tas pats kas $5.00$) pastumiame kablelį per 2 vietas į dešinę, gauname $500$.
      3. Dalijame $500 : 25 = 20$. Atsakymas: $20$.

Procentai yra labai dažnai sutinkami – parduotuvėse nuolaidos, bankuose palūkanos ir t.t.

  • Kas yra procentas? Vienas procentas (žymima $1%$) yra viena šimtoji ($ \frac{1}{100} $) kažkokio dydžio dalis. Taigi, $100%$ reiškia visą dydį.
  • Procentų vertimas:
    • Norint procentus paversti dešimtaine trupmena, dalijame juos iš 100 (arba kablelį pastumiame per dvi vietas į kairę). Pvz., $25% = 25 : 100 = 0.25$; $7% = 7:100 = 0.07$; $150% = 150:100 = 1.5$.
    • Norint procentus paversti paprastąja trupmena, užrašome juos kaip trupmeną su vardikliu 100 ir, jei įmanoma, suprastiname. Pvz., $50% = \frac{50}{100} = \frac{1}{2}$; $10% = \frac{10}{100} = \frac{1}{10}$.
    • Norint dešimtainę trupmeną paversti procentais, dauginame ją iš 100 (arba kablelį pastumiame per dvi vietas į dešinę) ir pridedame $%$ ženklą. Pvz., $0.4 = 0.4 \cdot 100% = 40%$; $0.03 = 0.03 \cdot 100% = 3%$; $1.2 = 1.2 \cdot 100% = 120%$.
    • Norint paprastąją trupmeną paversti procentais, dauginame ją iš $100%$. Pvz., $\frac{1}{4} = \frac{1}{4} \cdot 100% = \frac{100}{4}% = 25%$.

3.1. Kaip rasti skaičiaus procentą?

Yra du pagrindiniai būdai:

  1. Procentus paverčiame dešimtaine trupmena ir dauginame iš duoto skaičiaus.
  2. Procentus paverčiame paprastąja trupmena ir dauginame iš duoto skaičiaus.

  • Pavyzdys: Rask $30%$ nuo skaičiaus $150$.

  • Galvojame kartu (1 būdas):

    1. $30%$ paverčiame dešimtaine trupmena: $30 : 100 = 0.3$.
    2. Dauginame: $150 \cdot 0.3$. $150 \cdot 3 = 450$. Atskiriame vieną skaitmenį po kablelio (nes $0.3$ turi vieną): $45.0$ arba tiesiog $45$. Atsakymas: $45$.

  • Galvojame kartu (2 būdas):

    1. $30%$ paverčiame paprastąja trupmena: $\frac{30}{100}$. Galima suprastinti: $\frac{3}{10}$.
    2. Dauginame: $150 \cdot \frac{3}{10} = \frac{150}{1} \cdot \frac{3}{10}$. Galime prastinti 150 ir 10 iš 10: $150:10 = 15$, $10:10=1$. Turime $\frac{15}{1} \cdot \frac{3}{1} = 15 \cdot 3 = 45$. Atsakymas: $45$.

3.2. Kaip rasti skaičių pagal jo procentą?

Jei žinome, kad tam tikras skaičius yra kažkiek procentų nuo ieškomo (viso) skaičiaus.

  1. Procentus paverčiame dešimtaine trupmena.
  2. Duotą skaičių (kuris yra dalis) dalijame iš gautos dešimtainės trupmenos.
  • Pavyzdys: $20%$ kažkokio skaičiaus yra $12$. Rask tą skaičių.
  • Galvojame kartu:
    1. $20%$ paverčiame dešimtaine trupmena: $20 : 100 = 0.2$.
    2. Dalijame dalį ($12$) iš šios trupmenos ($0.2$): $12 : 0.2$. Kad būtų lengviau dalyti, padarome daliklį sveiku: $0.2 \rightarrow 2$ (pastūmėm kablelį per 1 vietą). Tą patį darome su $12 \rightarrow 12.0 \rightarrow 120$. Dalijame $120 : 2 = 60$. Atsakymas: Tas skaičius yra $60$. (Pasitikrinimas: $20%$ nuo $60$ yra $60 \cdot 0.2 = 12$. Teisingai!)

3.3. Kiek procentų vienas skaičius sudaro kito skaičiaus?

  1. Pirmą skaičių (dalį) dalijame iš antro skaičiaus (viso).
  2. Gautą rezultatą (dešimtainę trupmeną) dauginame iš $100%$.
  • Pavyzdys: Kiek procentų skaičius $15$ sudaro skaičiaus $60$?
  • Galvojame kartu:
    1. Dalijame dalį iš viso: $15 : 60$. $\frac{15}{60}$. Galime suprastinti iš 15: $\frac{15:15}{60:15} = \frac{1}{4}$.
    2. $\frac{1}{4}$ paverčiame dešimtaine trupmena: $1:4 = 0.25$.
    3. Dauginame iš $100%$: $0.25 \cdot 100% = 25%$. Atsakymas: $25%$.

3.4. Procentinis padidėjimas / sumažėjimas

  • Jei skaičius padidėja $P%$: Naujas skaičius = Pradinis skaičius + (Pradinis skaičius $\cdot \frac{P}{100}$) Arba paprasčiau: Naujas skaičius = Pradinis skaičius $\cdot (1 + \frac{P}{100})$

  • Jei skaičius sumažėja $P%$: Naujas skaičius = Pradinis skaičius - (Pradinis skaičius $\cdot \frac{P}{100}$) Arba paprasčiau: Naujas skaičius = Pradinis skaičius $\cdot (1 - \frac{P}{100})$

  • Pavyzdys (padidėjimas): Prekės kaina buvo 80 Eur. Ji pabrango $15%$. Kokia nauja kaina?

  • Galvojame kartu (1 būdas):

    1. Randame, kiek eurų sudaro $15%$ nuo $80$ Eur: $15% = 0.15$. $80 \cdot 0.15 = 12$ Eur (pabrangimas).
    2. Pridedame pabrangimą prie pradinės kainos: $80 + 12 = 92$ Eur. Atsakymas: 92 Eur.

  • Galvojame kartu (2 būdas, paprastesnis):

    1. Jei kaina pabrango $15%$, tai nauja kaina sudaro $100% + 15% = 115%$ pradinės kainos.
    2. $115%$ paverčiame dešimtaine trupmena: $1.15$.
    3. Dauginame pradinę kainą iš šio koeficiento: $80 \cdot 1.15 = 92$ Eur. Atsakymas: 92 Eur.

  • Pavyzdys (sumažėjimas): Knyga kainavo 20 Eur. Jai pritaikyta $25%$ nuolaida. Kiek knyga kainuoja dabar?

  • Galvojame kartu (2 būdas):

    1. Jei nuolaida $25%$, tai mokėti reikės $100% - 25% = 75%$ pradinės kainos.
    2. $75%$ paverčiame dešimtaine trupmena: $0.75$.
    3. Dauginame pradinę kainą: $20 \cdot 0.75 = 15$ Eur. Atsakymas: 15 Eur.

4. Skaičiaus Modulis (Absoliutinė reikšmė) – Atstumas Nuo Nulio

Modulis yra labai paprastas dalykas, nors jo pavadinimas gali atrodyti sudėtingas.

  • Kas yra modulis? Skaičiaus modulis (arba absoliutinė reikšmė) rodo, koks yra atstumas nuo to skaičiaus iki nulio (0) skaičių tiesėje. Jis žymimas dviem vertikaliais brūkšneliais: $|a|$.
  • Svarbiausia savybė: Atstumas visada yra teigiamas arba lygus nuliui. Modulis niekada nebūna neigiamas!

Kaip rasti modulį:

  • Jei skaičius yra teigiamas arba nulis, jo modulis yra lygus tam pačiam skaičiui. Pvz., $|5| = 5$ (atstumas nuo 5 iki 0 yra 5 žingsniai). $|0| = 0$ (atstumas nuo 0 iki 0 yra 0 žingsnių).
  • Jei skaičius yra neigiamas, jo modulis yra lygus tam pačiam skaičiui, tik be minuso ženklo (t.y. priešingam skaičiui). Pvz., $|-3| = 3$ (atstumas nuo -3 iki 0 yra 3 žingsniai). $|-100| = 100$.

Matematiškai tai užrašoma taip: $|a| = \begin{cases} a, & \text{kai } a \ge 0 \ -a, & \text{kai } a < 0 \end{cases}$ Tas "-a", kai a<0, reiškia, kad jei 'a' yra neigiamas (pvz., -3), tai '-a' bus -(-3) = 3.

Pavyzdžiai:

  1. $|8| = 8$
  2. $|-12| = 12$
  3. $|0| = 0$
  4. $|7-2| = |5| = 5$ (Pirmiausia atliekame veiksmą viduje modulio!)
  5. $|3-10| = |-7| = 7$
  6. $|-4| + |9| = 4 + 9 = 13$
  7. $|-5 \cdot 2| = |-10| = 10$

Uždavinukas 3: Apskaičiuok: a) $|-15|$ b) $|20|$ c) $|9 - 15|$ d) $|-3| \cdot |4|$ e) $|-2 - 7|$

Sprendimas: a) $|-15| = 15$ b) $|20| = 20$ c) $|9 - 15| = |-6| = 6$ d) $|-3| \cdot |4| = 3 \cdot 4 = 12$ e) $|-2 - 7| = |-9| = 9$

Apibendrinimas

Šiame straipsnyje susipažinome su pagrindinėmis skaičių "komandomis" (aibėmis) ir prisiminėme (o gal kai kas ir išmoko) svarbiausius veiksmus su trupmenomis, procentais bei modulio sąvoką. Tai yra kertiniai akmenys, ant kurių statysime sudėtingesnius matematikos "pastatus".

Jei kažkas buvo neaišku, nesijaudink! Perskaityk dar kartą, pabandyk pats išspręsti pavyzdžius. Svarbiausia – suprasti kiekvieną žingsnelį.

Kitame straipsnyje keliausime prie laipsnių ir šaknų – dar vienos labai svarbios matematikos dalies! Sėkmės mokantis!

Mes naudojame slapukus.
Sužinoti daugiau