Aibės, intervalai, logika, modulis

Aibė – tai objektų rinkinys, kurį apibrėžia bendra savybė. Ją galime išvardyti, pavyzdžiui, $A=\{-2,0,3\}$, arba aprašyti sąlyga: $B=\{x\mid x\gt 1\}$ reiškia visus skaičius, didesnius už 1.

Keturi svarbūs skaičių rinkiniai

• $\mathbb N$ – natūralieji skaičiai $1,2,3,\ldots$;
• $\mathbb Z$ – sveikieji skaičiai $\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots$;
• $\mathbb Q$ – racionalieji skaičiai, užrašomi trupmena $\frac ab$, kai $b\ne0$;
• $\mathbb R$ – visi realieji skaičiai, įskaitant ir racionaliuosius, ir iracionaliuosius.

Šios aibės telpa viena į kitą: $\mathbb N\subset\mathbb Z\subset\mathbb Q\subset\mathbb R$. Todėl $5\in\mathbb N$, $-5\in\mathbb Z$, bet $-5\notin\mathbb N$. Skaičius $\frac34$ priklauso $\mathbb Q$, o $\sqrt2$ yra realusis, tačiau neracionalusis skaičius.

Kaip skaityti priklausymą

$x\in A$ skaitome „$x$ priklauso aibei $A$“, o $x\notin A$ – „nepriklauso“. Jei $A=\{-3,-1,2,5\}$, tada $-1\in A$ ir $0\notin A$. Čia nereikia skaičiuoti: pakanka patikrinti, ar tas skaičius parašytas tarp aibės elementų.

Kai aibė aprašyta sąlyga, reikia ją perskaityti. Pavyzdžiui, $C=\{x\in\mathbb Z\mid -2\le x\lt 3\}$ turi penkis elementus: $\{-2,-1,0,1,2\}$. Sąlyga $x\in\mathbb Z$ svarbi: be jos intervale tarp $-2$ ir $3$ būtų ne tik sveikieji, bet ir visi trupmeniniai skaičiai.

Prieš spręsdamas uždavinį vis paklausk savęs: ar ieškau atskiro skaičiaus, ar visos skaičių aibės? Šis skirtumas vėliau lemia, ar atsakymą rašysime vienu skaičiumi, aibe ar intervalu.

Intervalas trumpai užrašo visus skaičius tarp dviejų ribų. Jis yra patogus būdas parodyti nelygybės sprendinių aibę.

Skliaustai pasako, ar galas priklauso

• $(a,b)$: $a\lt x\lt b$ – abu galai neįtraukti;
• $[a,b]$: $a\le x\le b$ – abu galai įtraukti;
• $[a,b)$: $a\le x\lt b$ – įtrauktas tik kairysis galas;
• $(a,b]$: $a\lt x\le b$ – įtrauktas tik dešinysis galas.

Pavyzdžiui, $-2\lt x\le3$ užrašome $(-2,3]$. Skaičius $-2$ netinka, nes nelygybė griežta, o $3$ tinka, nes yra ženklas $\le$. Kita kryptis veikia taip pat: $[4,\infty)$ reiškia $x\ge4$.

Prie $\infty$ ir $-\infty$ visada rašome apvalų skliaustą. Begalybė nėra skaičių tiesės taškas, kurį būtų galima įtraukti: $(-\infty,5]$, $(2,\infty)$.

Trys trumpi pavyzdžiai

1. $x\lt 7$ reiškia $(-\infty,7)$. Skaičius 7 neįeina.
2. $0\le x\lt 4$ reiškia $[0,4)$. Nulis įeina, ketvertas – ne.
3. $-5\le x\le-1$ reiškia $[-5,-1]$. Abu galai priklauso sprendiniui.

Skaičių tiesėje neįtrauktą galą žymime tuščiu tašku, įtrauktą – pilnu. Jei dvejoji, įstatyk ribinį skaičių į pradinę nelygybę: taip greitai patikrinsi, kuris skliaustas turi būti.

Kai nelygybė turi dvi dalis

Jei sąlyga sako $x\lt -1$ arba $x\ge2$, sprendinių aibę sudaro dvi atskiros dalys:

$$(-\infty,-1)\cup[2,\infty).$$

Ženklas $\cup$ čia reiškia, kad tinka bet kuri iš šių dviejų galimybių.

Žodinę sąlygą dažnai galima tiesiogiai išversti į aibių veiksmą. Tai ypač naudinga, kai lyginame intervalus arba sprendžiame kelias sąlygas vienu metu.

Trys veiksmai

• $A\cup B$ – sąjunga: priklauso $A$ arba $B$, įskaitant tuos, kurie priklauso abiem;
• $A\cap B$ – sankirta: priklauso ir $A$, ir $B$;
• $A\setminus B$ – skirtumas: priklauso $A$, bet nepriklauso $B$.

Tarkime, $A=(-3,4]$, o $B=[1,7)$. Jų bendra dalis yra nuo 1 iki 4, todėl $A\cap B=[1,4]$. Sudėjus abu intervalus nelieka tarpo nuo $-3$ iki $7$, taigi $A\cup B=(-3,7)$. Iš $A$ pašalinę viską, kas patenka į $B$, gauname $A\setminus B=(-3,1)$.

„Ir“ reiškia sankirtą

Jeigu $x$ turi tenkinti abi sąlygas, ieškome sankirtos. Pavyzdžiui:

$$x\gt -2\quad\text{ir}\quad x\le4.$$

Pirmoji sąlyga duoda $(-2,\infty)$, antroji $(-\infty,4]$. Kartu jos palieka $(-2,4]$. Taip pat sprendžiame lygčių ar nelygybių sistemas: tinka tik tie skaičiai, kurie tenkina kiekvieną eilutę.

„Arba“ reiškia sąjungą

Sąlygoje $x\lt -1$ arba $x\gt 3$ tinka du atskiri intervalai, todėl atsakymas yra $(-\infty,-1)\cup(3,\infty)$. Žodį „arba“ suprantame plačiai: skaičius galėtų tenkinti ir abi sąlygas, jeigu jos persidengtų.

Patikrinimas skaičių tiesėje

Nubrėžk abu intervalus vieną po kitu. Sankirtai palik persidengiančią dalį. Sąjungai pasiimk viską, kas pažymėta bent vienoje eilutėje. Skirtumui pradėk nuo pirmosios aibės ir ištrink jos dalį, kuri yra antrojoje.

Modulis parodo atstumą skaičių tiesėje, todėl jo reikšmė negali būti neigiama. Skaičiaus $a$ modulis $|a|$ yra atstumas nuo nulio: $|-6|=6$, $|6|=6$, $|0|=0$.

Svarbiausia forma yra $|x-a|$. Ji reiškia atstumą nuo nežinomo taško $x$ iki taško $a$:

$$|x-a|=\text{atstumas nuo }x\text{ iki }a.$$

Kaip tai veikia skaičių tiesėje

Lygtis $|x-3|=2$ klausia, kurie taškai yra per 2 vienetus nuo 3. Vienas taškas yra kairėje: $1$, kitas dešinėje: $5$. Todėl $x=1$ arba $x=5$.

Panašiai $|x+4|=1$ galime perskaityti kaip $|x-(-4)|=1$. Ieškome taškų, nutolusių nuo $-4$ per 1: $x=-5$ arba $x=-3$.

Jei dešinėje pusėje būtų neigiamas skaičius, pavyzdžiui, $|x-2|=-1$, sprendinių nebūtų. Atstumas negali būti $-1$.

Taisyklė ir atstumas tarp dviejų skaičių

Kai $r\ge0$,

$$|x-a|=r\quad\Longleftrightarrow\quad x=a-r\text{ arba }x=a+r.$$

Atstumą tarp dviejų žinomų skaičių taip pat randame moduliu: atstumas tarp $4$ ir $-3$ yra $|4-(-3)|=|7|=7$. Eilės tvarka nesvarbi, nes $|a-b|=|b-a|$.

Naudingos modulio savybės

Modulis išlaiko sandaugos ir dalmens „dydį“:

$$|ab|=|a|\cdot|b|,\qquad \left|\frac ab\right|=\frac{|a|}{|b|}\quad(b\ne0).$$

Pavyzdžiui, $|-2\cdot5|=|-10|=10$, o $|-2|\cdot|5|=2\cdot5=10$. Taip pat $\left|\frac{-12}{3}\right|=4$. Šios savybės naudingos pertvarkant reiškinius, tačiau pirmiausia verta suprasti pagrindinę idėją: modulis matuoja atstumą, ne ženklo kryptį.

Prieš skaičiuodamas visada pasakyk, kuris skaičius yra centras $a$, o koks atstumas $r$. Tada du sprendiniai atsiranda natūraliai: vienas kairėje, vienas dešinėje nuo centro.

Modulio nelygybę skaityk kaip atstumo sąlygą. Centre yra skaičius $a$, o $r$ rodo, kiek leidžiama nuo jo nutolti.

Kai ieškome taškų netoli centro

Jei $r\gt 0$, tuomet

$$|x-a|\lt r\quad\Longleftrightarrow\quad a-r\lt x\lt a+r,$$
$$|x-a|\le r\quad\Longleftrightarrow\quad a-r\le x\le a+r.$$

Pavyzdžiui, $|x-2|\lt 3$ reiškia, kad $x$ nuo 2 nutolęs mažiau nei per 3. Ribiniai taškai: $2-3=-1$ ir $2+3=5$, todėl $-1\lt x\lt 5$, arba $(-1,5)$.

Kitas pavyzdys: $|x+1|\le2$ yra tas pats, kas $|x-(-1)|\le2$. Centre yra $-1$, o atstumas 2, todėl $-3\le x\le1$. Kadangi ženklas $\le$, abu galai įtraukiami.

Kai ieškome taškų toli nuo centro

$$|x-a|\gt r\quad\Longleftrightarrow\quad x\lt a-r\text{ arba }x\gt a+r,$$
$$|x-a|\ge r\quad\Longleftrightarrow\quad x\le a-r\text{ arba }x\ge a+r.$$

Pavyzdžiui, $|x-1|\gt 3$ duoda $x\lt -2$ arba $x\gt 4$. Atsakymas turi dvi dalis: $(-\infty,-2)\cup(4,\infty)$. Vidurys tarp $-2$ ir $4$ netinka, nes jo taškai yra per arti skaičiaus 1.

Sprendimo eiga

1. Jei reikia, perkelk kitus narius taip, kad modulis liktų vienas.
2. Perskaityk $|x-a|$ kaip atstumą iki $a$ ir rask ribas $a-r$, $a+r$.
3. Mažesnio atstumo atveju pažymėk vidurinį intervalą; didesnio – dvi išorines sritis.
4. Jei duota papildoma sąlyga, pavyzdžiui, $x\in[0,6]$, paimk sankirtą su jau gauta aibe.

Pavyzdžiui, iš $|x-2|\le3$ gauname $[-1,5]$. Kartu su $x\in[0,6]$ lieka $[0,5]$.