Trigonometrija

Radianai. $180^\circ = \pi$ rad. Laipsnius į radianus verčiame dauginant iš $\frac{\pi}{180^\circ}$: $60^\circ = \frac{\pi}{3}$, $90^\circ = \frac{\pi}{2}$.

Vienetinis apskritimas. Kampo $\alpha$ taško koordinatės yra $(\cos \alpha; \sin \alpha)$. Iš to išplaukia ženklai:

Tapatybės. $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, $\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$. Kai iš $\sin \alpha$ randi $\cos \alpha$, ženklą nustatyk pagal ketvirtį.

Lygtys. $\sin x = a$: $x = (-1)^k \arcsin a + 180^\circ k$. $\cos x = a$: $x = \pm \arccos a + 360^\circ k$. $\operatorname{tg} x = a$: $x = \operatorname{arctg} a + 180^\circ k$. Kai klausiama apie sprendinius intervale, patogiau juos susirasti vienetiniame apskritime.

Trikampis. Kosinusų teorema $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$ – kai žinomos dvi kraštinės ir kampas tarp jų arba visos trys kraštinės. Sinusų teorema $\frac{a}{\sin A} = 2R$ – kai žinoma kraštinė ir prieš ją esantis kampas. Plotas $S = \frac{1}{2}ab \sin C$.

Formulių rinkinyje. Abiejuose rinkiniuose yra reikšmių lentelė, lygčių sprendinių formulės, sinusų ir kosinusų teoremos. Tapatybė $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ yra tik B kurso rinkinyje. Dvigubo kampo ir kampų sumos formulės – tik A kurso rinkinyje, jame lygčių sprendiniai užrašyti radianais.

1. Apskaičiuok $\sin 30^\circ + \cos 60^\circ$.

Atsakymas: $1$

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.

2. Apskaičiuok $\sin^2 37^\circ + \cos^2 37^\circ + \operatorname{tg} 60^\circ \cdot \operatorname{tg} 30^\circ$.

Atsakymas: $2$

Pirmoji dalis lygi 1 su bet kuriuo kampu. $\operatorname{tg} 60^\circ \cdot \operatorname{tg} 30^\circ = \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 1$. Suma 2.

3. Kampas $\alpha$ smailusis ir $\sin \alpha = \frac{3}{5}$. Kam lygus $\cos \alpha$?

A) $\frac{2}{5}$
B) $\frac{4}{5}$
C) $\frac{3}{4}$
D) $\frac{5}{4}$

Atsakymas: B) $\frac{4}{5}$

$\cos^2 \alpha = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$. Smailiojo kampo kosinusas teigiamas: $\frac{4}{5}$.

4. Kampas $\alpha$ smailusis ir $\sin \alpha = \frac{3}{5}$. Rask $\operatorname{tg} \alpha$.

Atsakymas: $0{,}75$

$\cos \alpha = \frac{4}{5}$, todėl $\operatorname{tg} \alpha = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4} = 0{,}75$.

5. Kiek radianų sudaro $150^\circ$?

A) $\frac{5\pi}{6}$
B) $\frac{3\pi}{4}$
C) $\frac{2\pi}{3}$
D) $\frac{5\pi}{3}$

Atsakymas: A) $\frac{5\pi}{6}$

$150^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{5\pi}{6}$.

6. Kuriam ketvirčiui priklauso $230^\circ$ kampas?

A) I
B) II
C) III
D) IV

Atsakymas: C) III

$180^\circ < 230^\circ < 270^\circ$, todėl III ketvirtis.

7. Duota $\sin \alpha = 0{,}6$ ir $\cos \alpha = 0{,}8$. Rask $\sin 2\alpha$.

Atsakymas: $0{,}96$

A kurso formulė. $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \cdot 0{,}6 \cdot 0{,}8 = 0{,}96$.

8. Apskaičiuok $\cos 75^\circ \cos 15^\circ - \sin 75^\circ \sin 15^\circ$.

Atsakymas: $0$

A kurso formulė. Tai kosinuso sumos formulė: $\cos(75^\circ + 15^\circ) = \cos 90^\circ = 0$.

9. Apskaičiuok $\cos 180^\circ - \sin 270^\circ$.

Atsakymas: $0$

Vienetiniame apskritime $180^\circ$ atitinka tašką $(-1; 0)$, $270^\circ$ – tašką $(0; -1)$. $\cos 180^\circ = -1$, $\sin 270^\circ = -1$. $-1 - (-1) = 0$.

10. Kiek laipsnių sudaro $\frac{\pi}{3}$ rad?

Atsakymas: $60^\circ$

$\frac{\pi}{3} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = 60^\circ$.

11. Kampas $\alpha$ priklauso II ketvirčiui ir $\sin \alpha = \frac{12}{13}$. Kam lygus $\cos \alpha$?

A) $-\frac{5}{13}$
B) $\frac{5}{13}$
C) $-\frac{12}{13}$
D) $\frac{1}{13}$

Atsakymas: A) $-\frac{5}{13}$

$\cos^2 \alpha = 1 - \frac{144}{169} = \frac{25}{169}$, todėl $\cos \alpha = \pm \frac{5}{13}$. II ketvirtyje kosinusas neigiamas.

12. Kuri formulė užrašo visus lygties $\cos x = \frac{1}{2}$ sprendinius ($k \in \mathbb{Z}$)?

A) $x = \pm 60^\circ + 360^\circ k$
B) $x = 60^\circ + 180^\circ k$
C) $x = (-1)^k 30^\circ + 180^\circ k$
D) $x = \pm 30^\circ + 360^\circ k$

Atsakymas: A) $x = \pm 60^\circ + 360^\circ k$

$\arccos \frac{1}{2} = 60^\circ$, o lygties $\cos x = a$ sprendiniai yra $x = \pm \arccos a + 360^\circ k$.

13. Kiek sprendinių turi lygtis $\sin x = 0$ intervale $[0^\circ; 360^\circ]$?

Atsakymas: $3$

$\sin x = 0$, kai $x = 0^\circ, 180^\circ, 360^\circ$. Abu galai priklauso intervalui.

14. Rask lygties $\sin x = -1$ sprendinį intervale $[0^\circ; 360^\circ]$ (laipsniais).

Atsakymas: $270^\circ$

Vienetiniame apskritime $\sin x = -1$ tik žemiausiame taške, kai $x = 270^\circ$.

15. Rask didžiausią funkcijos $y = 3 \sin x + 1$ reikšmę.

Atsakymas: $4$

Didžiausia $\sin x$ reikšmė 1, todėl $y = 3 + 1 = 4$.

16. Koks funkcijos $y = \sin 2x$ mažiausiasis teigiamas periodas laipsniais?

Atsakymas: $180^\circ$

Funkcijos $\sin x$ periodas $360^\circ$. Kai argumentas padaugintas iš 2, periodas sumažėja dvigubai: $180^\circ$.

17. Trikampio dvi kraštinės lygios 5 ir 8, o kampas tarp jų – $60^\circ$. Rask trečiąją kraštinę.

Atsakymas: $7$

Kosinusų teorema: $c^2 = 25 + 64 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} = 49$, $c = 7$.

18. Trikampio dvi kraštinės lygios 5 ir 8, o kampas tarp jų – $60^\circ$. Rask trikampio plotą, atsakymą suapvalink iki dešimtųjų.

Atsakymas: $10\sqrt{3} \approx 17{,}3$

$S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 \cdot \sin 60^\circ = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} \approx 17{,}3$.

19. Trikampyje kraštinė $a = 10$, o prieš ją esantis kampas $\angle A = 30^\circ$. Rask apie trikampį apibrėžto apskritimo spindulį $R$.

Atsakymas: $10$

Sinusų teoremos išvada: $\frac{a}{\sin A} = 2R$. $\frac{10}{1/2} = 20 = 2R$, todėl $R = 10$.

20. Trikampio kraštinės lygios 3, 5 ir 7. Rask didžiausią jo kampą (laipsniais).

Atsakymas: $120^\circ$

Didžiausias kampas yra prieš ilgiausią kraštinę 7. $7^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cos C$, $49 = 34 - 30 \cos C$, $\cos C = -\frac{1}{2}$, $C = 120^\circ$.