Kombinatorika, tikimybės ir statistika

Daugybos taisyklė. Jei pirmą pasirinkimą galima atlikti $m$ būdais, o antrą – $n$ būdais, abu kartu galima atlikti $m \cdot n$ būdais.

Kurią formulę rinktis:

Klasikinė tikimybė. $P(A) = \frac{m}{n}$, kai visos $n$ baigčių vienodai galimos, o $m$ iš jų palankios.

Priešingas įvykis. $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$. Klausimą „bent vienas“ dažniausiai paprasčiau spręsti per priešingą įvykį „nė vieno“.

Nepriklausomi įvykiai. $P(A \text{ ir } B) = P(A) \cdot P(B)$. Traukiant be grąžinimo, antrojo bandymo tikimybės keičiasi.

Binominiai bandymai. Tikimybė, kad per $n$ bandymų sėkmė bus lygiai $k$ kartų: $P_n(k) = C_n^k p^k (1 - p)^{n - k}$.

Statistika. Vidurkis – suma, padalyta iš kiekio. Mediana – vidurinė surikiuotų duomenų reikšmė (kai duomenų lyginis skaičius – dviejų vidurinių vidurkis). Moda – dažniausiai pasikartojanti reikšmė. Imties plotis – didžiausios ir mažiausios reikšmių skirtumas.

Atsitiktinis dydis. $EX = x_1 p_1 + \ldots + x_n p_n$, $DX = (x_1 - EX)^2 p_1 + \ldots + (x_n - EX)^2 p_n$. Visų tikimybių suma lygi 1.

Formulių rinkinyje. Derinių, gretinių, binominių bandymų, $EX$ ir $DX$ formulės yra tik A kurso rinkinyje.

1. Kiek yra skirtingų trijų skaitmenų kodų, sudarytų iš skaitmenų 0–9, jei skaitmenys gali kartotis (pvz., 007)?

Atsakymas: $1000$

Kiekvienai iš trijų vietų – 10 pasirinkimų: $10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$.

2. Keliais būdais galima sustatyti į eilę 5 mokinius?

Atsakymas: $120$

$5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$.

3. Keliais būdais iš 8 mokinių galima išrinkti 3 narių komandą?

Atsakymas: $56$

A kurso formulė. Tvarka nesvarbi, todėl deriniai: $C_8^3 = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56$.

4. Varžybose dalyvauja 10 bėgikų. Keliais būdais gali būti paskirstytos aukso, sidabro ir bronzos medaliai?

Atsakymas: $720$

A kurso formulė. Tvarka svarbi, todėl gretiniai: $A_{10}^3 = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$.

5. Kiek dviženklių skaičių galima sudaryti iš skaitmenų 1, 2, 3 ir 4, jei skaitmenys nesikartoja?

Atsakymas: $12$

Dešimčių skaitmeniui – 4 pasirinkimai, vienetų – likę 3. Pagal daugybos taisyklę $4 \cdot 3 = 12$.

6. Metamas lošimo kauliukas. Kokia tikimybė, kad atsivers lyginis akių skaičius?

Atsakymas: $0{,}5$

Palankios baigtys 2, 4, 6 – trys iš šešių: $\frac{3}{6} = 0{,}5$.

7. Metami du lošimo kauliukai. Kiek iš 36 vienodai galimų baigčių duoda akių sumą 7?

Atsakymas: $6$

(1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1) – šešios baigtys.

8. Metami du lošimo kauliukai. Kokia tikimybė, kad akių suma bus 7?

A) $\frac{1}{6}$
B) $\frac{1}{12}$
C) $\frac{7}{36}$
D) $\frac{1}{7}$

Atsakymas: A) $\frac{1}{6}$

Palankių baigčių 6 iš 36: $\frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.

9. Dėžėje 4 raudoni ir 6 mėlyni rutuliai. Atsitiktinai ištraukiamas vienas. Kokia tikimybė, kad jis raudonas?

Atsakymas: $0{,}4$

$\frac{4}{10} = 0{,}4$.

10. Dėžėje 4 raudoni ir 6 mėlyni rutuliai. Ištraukiami du rutuliai, pirmojo negrąžinant. Kokia tikimybė, kad abu raudoni?

A) $\frac{2}{15}$
B) $\frac{4}{25}$
C) $\frac{1}{5}$
D) $\frac{4}{15}$

Atsakymas: A) $\frac{2}{15}$

$\frac{4}{10} \cdot \frac{3}{9} = \frac{12}{90} = \frac{2}{15}$. Variantas $\frac{4}{25}$ tiktų, jei rutulys būtų grąžinamas.

11. Įvykio $A$ tikimybė lygi 0,3. Kokia priešingo įvykio tikimybė?

Atsakymas: $0{,}7$

$P(\bar{A}) = 1 - 0{,}3 = 0{,}7$.

12. Įvykiai $A$ ir $B$ nepriklausomi, $P(A) = 0{,}5$, $P(B) = 0{,}4$. Rask tikimybę, kad įvyks abu.

Atsakymas: $0{,}2$

Nepriklausomų įvykių sandaugos tikimybė: $0{,}5 \cdot 0{,}4 = 0{,}2$.

13. Moneta metama 4 kartus. Kokia tikimybė, kad herbas atsivers lygiai 2 kartus?

Atsakymas: $0{,}375$

A kurso formulė. Binominiai bandymai: $C_4^2 \cdot 0{,}5^2 \cdot 0{,}5^2 = 6 \cdot \frac{1}{16} = \frac{3}{8} = 0{,}375$.

14. Lošimo kauliukas metamas du kartus. Kokia tikimybė, kad šešios akutės atsivers bent vieną kartą?

A) $\frac{11}{36}$
B) $\frac{1}{3}$
C) $\frac{1}{36}$
D) $\frac{10}{36}$

Atsakymas: A) $\frac{11}{36}$

Priešingas įvykis – šešetas neatsivers nė karto: $\frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{25}{36}$. Ieškoma tikimybė $1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}$. Atsakymas $\frac{1}{3}$ gaunamas klaidingai sudėjus $\frac{1}{6} + \frac{1}{6}$.

15. Rask duomenų 3, 5, 5, 7, 10 aritmetinį vidurkį.

Atsakymas: $6$

$\frac{3 + 5 + 5 + 7 + 10}{5} = \frac{30}{5} = 6$.

16. Rask duomenų 7, 3, 10, 5, 5 medianą.

Atsakymas: $5$

Surikiuojame: 3, 5, 5, 7, 10. Vidurinė reikšmė – 5.

17. Rask duomenų 3, 5, 5, 7, 10 imties plotį.

Atsakymas: $7$

Didžiausia ir mažiausia reikšmių skirtumas: $10 - 3 = 7$.

18. Atsitiktinis dydis $X$ įgyja reikšmes 1, 2, 3 su tikimybėmis 0,25, $p$ ir 0,35. Rask $p$.

Atsakymas: $0{,}4$

Visų tikimybių suma lygi 1: $p = 1 - 0{,}25 - 0{,}35 = 0{,}4$.

19. Atsitiktinis dydis $X$ įgyja reikšmes 0, 1, 2 su tikimybėmis 0,2, 0,5 ir 0,3. Rask jo vidurkį $EX$.

Atsakymas: $1{,}1$

A kurso formulė. $EX = 0 \cdot 0{,}2 + 1 \cdot 0{,}5 + 2 \cdot 0{,}3 = 1{,}1$.

20. Rask duomenų 2, 3, 3, 5, 7, 7, 7, 9 modą.

Atsakymas: $7$

Reikšmė 7 pasikartoja tris kartus, 3 – du kartus, kitos po vieną. Moda – 7.

21. Atsitiktinis dydis $X$ įgyja reikšmes 0 ir 2, kiekvieną su tikimybe 0,5. Rask jo dispersiją $DX$.

Atsakymas: $1$

A kurso formulė. $EX = 0 \cdot 0{,}5 + 2 \cdot 0{,}5 = 1$. $DX = (0 - 1)^2 \cdot 0{,}5 + (2 - 1)^2 \cdot 0{,}5 = 0{,}5 + 0{,}5 = 1$.