Laipsniai, šaknys, logaritmai ir procentai

Laipsniai. $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$. Dauginant to paties pagrindo laipsnius rodikliai sudedami, dalijant – atimami, keliant laipsnį laipsniu – dauginami.

Šaknys. $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$, kai $a, b \ge 0$. Iš po šaknies iškelk didžiausią kvadratą: $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$. Šaknų sumos taip skaidyti negalima: $\sqrt{9 + 16} = 5$, o $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 7$.

Logaritmai. $\log_a b = c$ reiškia $a^c = b$. Pagrindas $a > 0$, $a \ne 1$, logaritmuojamas skaičius $b > 0$. Sudedant logaritmus su tuo pačiu pagrindu skaičiai dauginami, atimant – dalijami: $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$. Daugiklis perkeliamas į laipsnį: $k \log_a b = \log_a b^k$.

Procentai. Padidinti $p$ % reiškia padauginti iš $1 + \frac{p}{100}$, sumažinti – iš $1 - \frac{p}{100}$. Kai keitimas kartojasi $n$ kartų, $S_n = S_0 \left(1 \pm \frac{p}{100}\right)^n$.

Formulių rinkinyje. B kurso rinkinyje yra visos šios taisyklės. A kurso rinkinyje yra logaritmų savybės ir pagrindo keitimo formulė, bet nėra laipsnių, šaknų ir sudėtinių procentų formulių.

Dažnos klaidos:

• $-3^2 = -9$, bet $(-3)^2 = 9$;
• $2^3 \cdot 2^4 = 2^7$, ne $4^7$ ir ne $2^{12}$;
• $\log_a (b + c) \ne \log_a b + \log_a c$;
• padidinus 20 % ir sumažinus 20 %, kaina nebegrįžta į pradinę.

1. Apskaičiuok $\left(\frac{1}{3}\right)^{-2} + 16^{\frac{1}{2}}$.

Atsakymas: $13$

$\left(\frac{1}{3}\right)^{-2} = 3^2 = 9$, $16^{\frac{1}{2}} = \sqrt{16} = 4$. Suma 13.

2. Apskaičiuok $\frac{2^7 \cdot 2^{-3}}{2^2}$.

Atsakymas: $4$

Laipsnio rodikliai: $7 - 3 - 2 = 2$, todėl reiškinys lygus $2^2 = 4$.

3. Apskaičiuok $27^{\frac{2}{3}}$.

Atsakymas: $9$

$27^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{27}\right)^2 = 3^2 = 9$.

4. Kam lygus reiškinys $\sqrt{50} - \sqrt{18}$?

A) $\sqrt{32}$
B) $2\sqrt{2}$
C) $4\sqrt{2}$
D) $8$

Atsakymas: B) $2\sqrt{2}$

$\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$, $\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$, todėl skirtumas $2\sqrt{2}$. Šaknų atimti po šaknies ženklu negalima: $\sqrt{50 - 18} = \sqrt{32}$ yra kitas skaičius.

5. Apskaičiuok $(\sqrt{7} - \sqrt{3})(\sqrt{7} + \sqrt{3})$.

Atsakymas: $4$

Kvadratų skirtumo formulė: $(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{3})^2 = 7 - 3 = 4$.

6. Kaip užrašomas $x^{-\frac{1}{2}}$, kai $x > 0$?

A) $-\sqrt{x}$
B) $\frac{1}{\sqrt{x}}$
C) $\sqrt{-x}$
D) $\frac{1}{x^2}$

Atsakymas: B) $\frac{1}{\sqrt{x}}$

Neigiamas rodiklis reiškia atvirkštinį skaičių, rodiklis $\frac{1}{2}$ – kvadratinę šaknį: $x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{x}}$.

7. Kuris skaičius didžiausias?

A) $2^{30}$
B) $3^{20}$
C) $4^{14}$
D) $8^{9}$

Atsakymas: B) $3^{20}$

$2^{30} = 8^{10}$, $3^{20} = 9^{10}$, todėl $3^{20} > 2^{30}$. Be to, $4^{14} = 2^{28}$ ir $8^9 = 2^{27}$ yra mažesni už $2^{30}$.

8. Suprastink reiškinį $\frac{a^2 - 9}{a + 3}$, kai $a \neq -3$.

A) $a + 3$
B) $a - 3$
C) $a - 9$
D) $\frac{a - 3}{a + 3}$

Atsakymas: B) $a - 3$

$a^2 - 9 = (a - 3)(a + 3)$. Suprastinus iš $a + 3$, lieka $a - 3$.

9. $\sqrt{72} = k\sqrt{2}$. Rask $k$.

Atsakymas: $6$

$72 = 36 \cdot 2$, todėl $\sqrt{72} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2} = 6\sqrt{2}$.

10. Apskaičiuok $\log_2 32 - \log_3 9$.

Atsakymas: $3$

$\log_2 32 = 5$, nes $2^5 = 32$. $\log_3 9 = 2$. Skirtumas 3.

11. Apskaičiuok $\log_6 4 + \log_6 9$.

Atsakymas: $2$

Logaritmų suma lygi sandaugos logaritmui: $\log_6 (4 \cdot 9) = \log_6 36 = 2$.

12. Apskaičiuok $\lg 500 - \lg 5$.

Atsakymas: $2$

$\lg \frac{500}{5} = \lg 100 = 2$.

13. Apskaičiuok $\log_4 8$.

Atsakymas: $1{,}5$

Tegul $\log_4 8 = x$. Tada $4^x = 8$, $2^{2x} = 2^3$, $x = \frac{3}{2} = 1{,}5$.

14. Apskaičiuok $\log_3 5 \cdot \log_5 81$.

Atsakymas: $4$

A kurso formulė. Pagal pagrindo keitimo formulę $\log_3 5 \cdot \log_5 81 = \log_3 81 = 4$, nes $3^4 = 81$.

15. Apskaičiuok $\log_2 \frac{1}{8}$.

Atsakymas: $-3$

$\frac{1}{8} = 2^{-3}$, todėl $\log_2 \frac{1}{8} = -3$. Logaritmas gali būti neigiamas, neigiamas negali būti tik logaritmuojamas skaičius.

16. Apskaičiuok $2^{\log_2 7}$.

Atsakymas: $7$

Pagal logaritmo apibrėžimą $a^{\log_a b} = b$, todėl $2^{\log_2 7} = 7$.

17. Prekė kainavo 80 €. Kaina padidinta 15 %, o po to naujoji kaina sumažinta 15 %. Kiek eurų prekė kainuoja dabar?

Atsakymas: 78,20 €

$80 \cdot 1{,}15 = 92$, $92 \cdot 0{,}85 = 78{,}2$. Kaina nebegrįžta į 80 €, nes antrą kartą procentai skaičiuojami nuo didesnės sumos.

18. Į banką padėta 2000 €, metinės palūkanos 3 %, jos kasmet pridedamos prie indėlio. Kiek eurų bus sąskaitoje po 2 metų?

Atsakymas: 2121,80 €

Sudėtinių procentų formulė: $2000 \cdot 1{,}03^2 = 2000 \cdot 1{,}0609 = 2121{,}8$.

19. Kiek procentų skaičius 18 sudaro skaičiaus 72?

Atsakymas: 25 %

$\frac{18}{72} = \frac{1}{4} = 0{,}25$, tai yra 25 %.

20. Atlyginimas padidėjo nuo 1500 € iki 1620 €. Keliais procentais jis padidėjo?

Atsakymas: 8 %

Padidėjo 120 €. Procentai skaičiuojami nuo pradinės sumos: $\frac{120}{1500} = 0{,}08$, tai yra 8 %.