Išvestinė ir integralai

Išvestinės taisyklės. $(x^n)' = n x^{n - 1}$, $(c f(x))' = c f'(x)$, sumos išvestinė lygi išvestinių sumai. Konstantos išvestinė lygi 0.

Liestinė. Funkcijos grafiko liestinės taške $x_0$ krypties koeficientas lygus $f'(x_0)$. Lygtis $y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$.

Didėjimas ir mažėjimas. Kai $f'(x) > 0$, funkcija didėja, kai $f'(x) < 0$ – mažėja.

Ekstremumai. Kritiniai taškai – tie, kuriuose $f'(x) = 0$. Jei išvestinė pereidama tašką keičia ženklą iš $+$ į $-$, tai maksimumo taškas, iš $-$ į $+$ – minimumo.

Didžiausia ir mažiausia reikšmė intervale $[a; b]$:

1. Rask kritinius taškus ir atsirink tuos, kurie priklauso intervalui.
2. Apskaičiuok funkcijos reikšmes šiuose taškuose ir intervalo galuose $a$ ir $b$.
3. Iš gautų skaičių išsirink didžiausią ir mažiausią.

Dažna klaida – pamiršti intervalo galus.

Optimizavimo uždaviniai. Užrašyk dydį, kurį reikia padidinti ar sumažinti, kaip vieno kintamojo funkciją, nurodyk, kokias reikšmes kintamasis gali įgyti, tada ieškok ekstremumo.

Integralai. $\int x^n\,dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C$, $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$. Figūros tarp dviejų kreivių plotas – viršutinės ir apatinės funkcijų skirtumo integralas tarp susikirtimo taškų.

Formulių rinkinyje. B kurso rinkinyje yra pagrindinės taisyklės ir liestinės lygtis. A kurso rinkinyje – sandaugos, dalmens ir sudėtinės funkcijos išvestinės, $\sin x$, $\cos x$, $\operatorname{tg} x$, $a^x$, $\log_a x$ išvestinės, integralai ir sukinio tūris, bet nėra $(x^n)' = n x^{n - 1}$.

1. Kokia funkcijos $f(x) = x^3 - 4x$ išvestinė?

A) $f'(x) = 3x^2 - 4$
B) $f'(x) = 3x^2 - 4x$
C) $f'(x) = x^2 - 4$
D) $f'(x) = 3x - 4$

Atsakymas: A) $f'(x) = 3x^2 - 4$

$(x^3)' = 3x^2$, $(4x)' = 4$.

2. Duota $f(x) = 2x^3 - x^2$. Rask $f'(2)$.

Atsakymas: $20$

$f'(x) = 6x^2 - 2x$, $f'(2) = 24 - 4 = 20$.

3. Rask funkcijos $y = x^2 + 3x$ grafiko liestinės, nubrėžtos taške su abscise $x_0 = 1$, krypties koeficientą.

Atsakymas: $5$

Krypties koeficientas lygus išvestinei: $y' = 2x + 3$, $y'(1) = 5$.

4. Kuri lygtis yra funkcijos $y = x^2$ grafiko liestinės taške $x_0 = 3$ lygtis?

A) $y = 6x - 9$
B) $y = 6x + 9$
C) $y = 3x$
D) $y = 9x - 18$

Atsakymas: A) $y = 6x - 9$

$f(3) = 9$, $f'(3) = 6$. $y = 6(x - 3) + 9 = 6x - 9$.

5. Duota $f(x) = \sin 2x$. Rask $f'(0)$.

Atsakymas: $2$

A kurso formulė. Sudėtinės funkcijos išvestinė: $f'(x) = 2\cos 2x$, $f'(0) = 2 \cos 0 = 2$.

6. Duota $f(x) = \frac{x}{x + 1}$. Rask $f'(1)$.

Atsakymas: $0{,}25$

A kurso formulė. Dalmens išvestinė: $f'(x) = \frac{(x + 1) - x}{(x + 1)^2} = \frac{1}{(x + 1)^2}$. $f'(1) = \frac{1}{4} = 0{,}25$.

7. Duota $f(x) = 5x^2 - 3x + 7$. Rask $f'(0)$.

Atsakymas: $-3$

$f'(x) = 10x - 3$, $f'(0) = -3$. Konstantos 7 išvestinė lygi 0.

8. Duota $f(x) = 2^x$. Rask $f'(0)$, atsakymą suapvalink iki šimtųjų.

Atsakymas: $\ln 2 \approx 0{,}69$

A kurso formulė. $(a^x)' = a^x \ln a$, todėl $f'(x) = 2^x \ln 2$ ir $f'(0) = \ln 2 \approx 0{,}69$.

9. Kiek kritinių taškų turi funkcija $f(x) = x^3 - 3x$?

Atsakymas: $2$

$f'(x) = 3x^2 - 3 = 0$, kai $x = \pm 1$.

10. Duota $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 4x$. Rask teigiamą kritinį tašką.

Atsakymas: $2$

$f'(x) = x^2 - 4 = 0$, kai $x = \pm 2$. Teigiamas – $x = 2$.

11. Rask funkcijos $f(x) = x^3 - 3x$ maksimumo tašką.

Atsakymas: $x = -1$

$f'(x) = 3(x - 1)(x + 1)$. Kai $x < -1$, $f' > 0$, o tarp $-1$ ir $1$ $f' < 0$. Funkcija taške $-1$ pereina iš didėjimo į mažėjimą, tai maksimumas.

12. Kuriame intervale mažėja funkcija $f(x) = x^2 - 8x + 3$?

A) $(-\infty; 4]$
B) $[4; +\infty)$
C) $(-\infty; -4]$
D) $[-4; 4]$

Atsakymas: A) $(-\infty; 4]$

$f'(x) = 2x - 8 \le 0$, kai $x \le 4$.

13. Rask didžiausią funkcijos $f(x) = -x^2 + 6x$ reikšmę intervale $[0; 5]$.

Atsakymas: $9$

$f'(x) = -2x + 6 = 0$, kai $x = 3$, ir 3 priklauso intervalui. $f(0) = 0$, $f(3) = 9$, $f(5) = 5$. Didžiausia 9.

14. Stačiakampio perimetras 40 cm. Koks didžiausias galimas jo plotas (cm²)?

Atsakymas: 100 cm²

Kraštinės $x$ ir $20 - x$. $S = 20x - x^2$, $S' = 20 - 2x = 0$, kai $x = 10$. Didžiausią plotą turi kvadratas $10 \times 10$.

15. Kūnas juda tiese, jo nueitas kelias $s(t) = t^3 - 2t$ (metrais, $t$ – sekundėmis). Rask greitį (m/s), kai $t = 3$.

Atsakymas: 25 m/s

Greitis yra kelio išvestinė: $v(t) = 3t^2 - 2$, $v(3) = 27 - 2 = 25$.

16. Kam lygus $\int (3x^2 - 2x)\,dx$?

A) $x^3 - x^2 + C$
B) $6x - 2 + C$
C) $x^3 - 2x^2 + C$
D) $3x^3 - 2x^2 + C$

Atsakymas: A) $x^3 - x^2 + C$

A kurso formulė. $\int 3x^2\,dx = x^3$, $\int 2x\,dx = x^2$. Variantas $6x - 2$ yra išvestinė, o ne pirmykštė funkcija.

17. Apskaičiuok $\int_1^3 2x\,dx$.

Atsakymas: $8$

A kurso formulė. $x^2 \big|_1^3 = 9 - 1 = 8$.

18. Apskaičiuok $\int_0^{\pi} \sin x\,dx$.

Atsakymas: $2$

A kurso formulė. $-\cos x \big|_0^{\pi} = -\cos \pi + \cos 0 = 1 + 1 = 2$.

19. Rask figūros, apribotos parabole $y = x^2$ ir tiese $y = 4$, plotą. Atsakymą suapvalink iki šimtųjų.

Atsakymas: $\frac{32}{3} \approx 10{,}67$

A kurso formulė. Susikirtimo taškai $x = \pm 2$. $S = \int_{-2}^{2} (4 - x^2)\,dx = \left(4x - \frac{x^3}{3}\right)\Big|_{-2}^{2} = \frac{16}{3} + \frac{16}{3} = \frac{32}{3} \approx 10{,}67$.

20. Apskaičiuok $\int_0^1 (x^2 + 1)\,dx$, atsakymą suapvalink iki šimtųjų.

Atsakymas: $\frac{4}{3} \approx 1{,}33$

A kurso formulė. $\left(\frac{x^3}{3} + x\right)\Big|_0^1 = \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3} \approx 1{,}33$.