Matematikos VBE II dalis 12 klasėje

A ir B kursai turi atskiras užduotis, bet struktūra, trukmė ir taškai tie patys.

Užduotis turi dvi dalis.

I dalis – 10 taškų. 10 trumpojo atsakymo uždavinių, kiekvienas po 1 tašką. Įrašai tik atsakymą: skaičių, kelis skaičius, raidę ar žodį.

II dalis – 50 taškų. 7–10 uždavinių, kuriuos reikia išspręsti visu sprendimu:

• 5–8 struktūruoti uždaviniai, iš viso 12–18 dalių (pvz., a, b, c);
• 2–5 nestruktūruoti uždaviniai, kuriuose sprendimo kelią renkiesi pats.

Antrosios dalies darbus taiso vertintojai. Taškai skiriami ir už sprendimo žingsnius, todėl teisingai pradėtas, bet nebaigtas sprendimas vis tiek gali duoti taškų.

Pagal NŠA aprašą 35 % matematikos VBE taškų skiriama slenkstinio lygio uždaviniams, 15 % – patenkinamo, 35 % – pagrindinio ir 15 % – aukštesniojo. Jei tikslas – išlaikyti, pradėk nuo I dalies trumpojo atsakymo uždavinių ir nepalik tuščių struktūruotų uždavinių dalių.

Vertintojas taškus skiria už žingsnius, kuriuos mato lape. Atsakymas be sprendimo pilno sprendimo uždavinyje dažniausiai neduoda visų taškų, net jei jis teisingas.

Palyginkime du to paties uždavinio sprendimus. Uždavinys: rask funkcijos $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$ mažiausią reikšmę intervale $[-2; 4]$.

Per trumpas sprendimas: „$x = 3$, $f = -22$.“ Neaišku, iš kur atsirado 3 ir kodėl tai mažiausia reikšmė.

Sprendimas, kurį galima įvertinti:

1. $f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x - 3)(x + 1)$.
2. $f'(x) = 0$, kai $x = 3$ arba $x = -1$. Abu taškai priklauso intervalui $[-2; 4]$.
3. Apskaičiuojame reikšmes kritiniuose taškuose ir intervalo galuose: $f(-2) = 3$, $f(-1) = 10$, $f(3) = -22$, $f(4) = -15$.
4. Atsakymas: mažiausia reikšmė $-22$, įgyjama, kai $x = 3$.

Kiekvienas žingsnis atskirai rodo, ką moki: išvestinę, kritinius taškus, intervalo galus. Net jei suklystum skaičiuodamas $f(4)$, kiti žingsniai liktų teisingi.

Galutinis rezultatas – pirmosios dalies (iki 40) ir antrosios dalies (iki 60) taškų suma, iš viso iki 100.

• 2026 m. egzaminas išlaikytas surinkus 25 taškus iš 100.
• Nuo 25 iki 95 taškų rezultatas į balus paverčiamas pridedant 5. Pavyzdžiui, 25 taškai virsta 30 balų, 62 taškai – 67 balais.
• Surinkus mažiau nei 25 taškus, įrašoma „Neišlaikyta“. Į brandos atestatą įrašomi tik išlaikytų egzaminų balai.

2026 m. neišlaikytos matematikos antrąją dalį buvo galima perlaikyti tais pačiais metais pakartotinėje sesijoje. Prašymą mokyklos vadovui reikėjo pateikti per dvi darbo dienas nuo rezultatų paskelbimo.

Perlaikyti galima tuo pačiu kursu, o neišlaikius A kurso – ir B kursu. Tada B kurso rezultatą sudaro pirmosios dalies taškai, gauti A kursu, ir antrosios dalies taškai, gauti B kursu.

Perlaikymo tvarką ministerija tvirtina kiekvieniems metams, todėl prieš egzaminą verta pasitikrinti tų metų atmintinę abiturientams.

1. Spręsk ankstesnių metų užduotis su laikmačiu. NŠA skelbia jas kartu su vertinimo instrukcijomis. Iš instrukcijų matyti, už kuriuos sprendimo žingsnius skiriami taškai.
2. Rašyk sprendimą taip, kad jį galėtų sekti kitas žmogus. Užrašyk formulę, įstatyk skaičius, parašyk atsakymą su vienetais.
3. Nepalik tuščių struktūruotų uždavinių dalių. Kartais dalį b galima išspręsti ir neišsprendus dalies a.
4. Pasilik laiko patikrai. 240 minučių atrodo daug, bet uždaviniai su visu sprendimu ilgi.

Toliau – 12 uždavinių su sprendimais: šeši trumpojo atsakymo ir šeši, kuriuos egzamine reikėtų išspręsti visu sprendimu. Juos sukūrėme patys pagal oficialų aprašą.

1. Išspręsk lygtį $\frac{3}{x - 1} = \frac{2}{x}$.

Atsakymas: $-2$

Sudauginame kryžmai: $3x = 2(x - 1)$, $3x = 2x - 2$, $x = -2$. Reikšmė $-2$ vardiklių nepaverčia nuliu, todėl ji tinka.

2. Geometrinės progresijos $b_2 = 6$, $b_5 = 48$. Rask pirmąjį narį $b_1$.

Atsakymas: $3$

$b_5 = b_2 \cdot q^3$, todėl $q^3 = 8$ ir $q = 2$. $b_1 = b_2 : q = 6 : 2 = 3$.

3. Funkcijos $f(x) = x^3 - 6x^2$ išvestinė lygi nuliui dviejuose taškuose. Užrašyk didesnįjį.

Atsakymas: $4$

$f'(x) = 3x^2 - 12x = 3x(x - 4)$. Nuliai: $x = 0$ ir $x = 4$.

4. Išspręsk lygtį $\log_{0{,}5} x = -3$.

Atsakymas: $8$

Pagal apibrėžimą $x = 0{,}5^{-3} = 2^3 = 8$.

5. Kiek sprendinių turi lygtis $\cos x = 0$ intervale $[0^\circ; 360^\circ]$?

Atsakymas: $2$

$\cos x = 0$, kai $x = 90^\circ$ ir $x = 270^\circ$. Kitų sprendinių šiame intervale nėra.

6. Kūgio pagrindo spindulys 3, aukštinė 4. Kūgio tūris lygus $k\pi$. Rask $k$.

Atsakymas: $12$

$V = \frac{1}{3}\pi R^2 H = \frac{1}{3}\pi \cdot 9 \cdot 4 = 12\pi$.

7. Stačiakampis sklypas prie sienos aptveriamas 60 m tvoros iš trijų pusių, ketvirtoji pusė – siena. Kokio didžiausio ploto (m²) sklypą galima aptverti?

Atsakymas: 450 m²

Tegul dvi statmenos sienai kraštinės yra po $x$ m, tada trečioji – $60 - 2x$ m. Plotas $S(x) = x(60 - 2x) = 60x - 2x^2$, kai $0 < x < 30$. $S'(x) = 60 - 4x = 0$, kai $x = 15$. Kai $x < 15$, $S'(x) > 0$, kai $x > 15$, $S'(x) < 0$, todėl tai maksimumas. $S(15) = 15 \cdot 30 = 450$ m².

8. Trikampyje $ABC$ $AB = 3$, $AC = 8$, $\angle A = 60^\circ$. Rask kraštinę $BC$.

Atsakymas: $7$

Pagal kosinusų teoremą $BC^2 = 3^2 + 8^2 - 2 \cdot 3 \cdot 8 \cdot \cos 60^\circ = 9 + 64 - 24 = 49$, taigi $BC = 7$. Jei uždavinyje būtų dar dalis b), trikampio plotas būtų $\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 8 \cdot \sin 60^\circ = 6\sqrt{3}$.

9. Išspręsk lygtį $\log_2 x + \log_2 (x - 2) = 3$.

Atsakymas: $4$

Apibrėžimo sritis: $x > 0$ ir $x > 2$, taigi $x > 2$. $\log_2 \big(x(x - 2)\big) = 3$, todėl $x^2 - 2x = 8$, $x^2 - 2x - 8 = 0$, $x = 4$ arba $x = -2$. Sąlygą $x > 2$ tenkina tik $x = 4$. Visame sprendime šį patikrinimą būtina užrašyti.

10. Į banką padėta 5000 €, metinės palūkanos 4 %, jos kasmet pridedamos prie indėlio. Po kiek mažiausiai metų suma sąskaitoje viršys 6000 €?

Atsakymas: po 5 metų

Reikia, kad $5000 \cdot 1{,}04^n > 6000$, t. y. $1{,}04^n > 1{,}2$. Patikriname: $5000 \cdot 1{,}04^4 \approx 5849{,}29$ €, $5000 \cdot 1{,}04^5 \approx 6083{,}26$ €. Tą patį gausi logaritmuodamas: $n > \frac{\lg 1{,}2}{\lg 1{,}04} \approx 4{,}65$, o $n$ – sveikasis skaičius.

11. Rask visų lygties $2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0$ sprendinių, priklausančių intervalui $[0^\circ; 360^\circ]$, sumą (laipsniais).

Atsakymas: $630^\circ$

Pažymime $t = \sin x$: $2t^2 - t - 1 = 0$, $t = 1$ arba $t = -\frac{1}{2}$. Kai $\sin x = 1$, $x = 90^\circ$. Kai $\sin x = -\frac{1}{2}$, $x = 210^\circ$ arba $x = 330^\circ$. Suma $90^\circ + 210^\circ + 330^\circ = 630^\circ$.

12. Dėžėje yra 5 balti ir 3 juodi rutuliai. Atsitiktinai ištraukiami du rutuliai, pirmojo negrąžinant. Kokia tikimybė, kad jie bus skirtingų spalvų? Atsakymą suapvalink iki šimtųjų.

Atsakymas: $\frac{15}{28} \approx 0{,}54$

Tinka du atvejai: baltas, tada juodas – $\frac{5}{8} \cdot \frac{3}{7} = \frac{15}{56}$; juodas, tada baltas – $\frac{3}{8} \cdot \frac{5}{7} = \frac{15}{56}$. Suma $\frac{30}{56} = \frac{15}{28} \approx 0{,}54$.