Funkcijos ir progresijos

Tiesinė funkcija $y = kx + b$. $k$ – krypties koeficientas: kai $k > 0$, funkcija didėja, kai $k < 0$ – mažėja. $b$ – taškas, kuriame tiesė kerta $Oy$ ašį. Per du taškus: $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.

Kvadratinė funkcija $y = ax^2 + bx + c$. Kai $a > 0$, parabolės šakos nukreiptos aukštyn ir viršūnėje yra mažiausia reikšmė, kai $a < 0$ – žemyn, viršūnėje didžiausia. Viršūnės abscisė $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Šios formulės VBE formulių rinkiniuose nėra.

Grafikų postūmiai. $y = f(x - m) + n$ gaunamas pastūmus $y = f(x)$ grafiką $m$ vienetų į dešinę ir $n$ vienetų aukštyn. Ženklas prie $x$ veikia priešingai, nei atrodo: $f(x + 2)$ – postūmis į kairę.

Lyginumas. Lyginė funkcija: $f(-x) = f(x)$, grafikas simetriškas $Oy$ ašies atžvilgiu. Nelyginė: $f(-x) = -f(x)$, grafikas simetriškas koordinačių pradžios atžvilgiu.

Rodiklinė funkcija $y = a^x$: kai $a > 1$, didėja, kai $0 < a < 1$, mažėja. Reikšmės visada teigiamos, grafikas eina per tašką $(0; 1)$.

Progresijos. Aritmetinė: $a_n = a_1 + d(n - 1)$, $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$. Geometrinė: $b_n = b_1 q^{n - 1}$, $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$. Šios formulės yra abiejų kursų rinkiniuose. Nykstamosios geometrinės progresijos suma $S = \frac{b_1}{1 - q}$, kai $|q| < 1$, yra tik A kurso rinkinyje.

1. Duota $f(x) = 2x^2 - 3x + 1$. Rask $f(-2)$.

Atsakymas: $15$

$2 \cdot 4 - 3 \cdot (-2) + 1 = 8 + 6 + 1 = 15$.

2. Tiesė eina per taškus $(1; 3)$ ir $(3; 7)$. Rask jos krypties koeficientą.

Atsakymas: $2$

$k = \frac{7 - 3}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2$.

3. Su kuria $x$ reikšme funkcija $f(x) = 3x - 6$ įgyja reikšmę 9?

Atsakymas: $5$

$3x - 6 = 9$, $3x = 15$, $x = 5$.

4. Kokios koordinatės parabolės $y = x^2 - 6x + 5$ viršūnės?

A) $(3; -4)$
B) $(-3; 32)$
C) $(3; 4)$
D) $(6; 5)$

Atsakymas: A) $(3; -4)$

$x_0 = \frac{6}{2} = 3$, $y_0 = 9 - 18 + 5 = -4$.

5. Rask didžiausią funkcijos $y = -x^2 + 4x + 1$ reikšmę.

Atsakymas: $5$

Šakos nukreiptos žemyn, viršūnė $x = 2$: $y = -4 + 8 + 1 = 5$.

6. Kaip iš grafiko $y = x^2$ gaunamas grafikas $y = (x - 2)^2 + 1$?

A) 2 vienetais į kairę ir 1 aukštyn
B) 2 vienetais į dešinę ir 1 aukštyn
C) 2 vienetais į dešinę ir 1 žemyn
D) 1 vienetu į dešinę ir 2 aukštyn

Atsakymas: B) 2 vienetais į dešinę ir 1 aukštyn

$x - 2$ po kvadratu perkelia grafiką į dešinę per 2, o $+1$ – aukštyn per 1. Viršūnė iš $(0; 0)$ persikelia į $(2; 1)$.

7. Kuri funkcija yra lyginė?

A) $y = x^3$
B) $y = x^2 + |x|$
C) $y = x^2 + x$
D) $y = 2^x$

Atsakymas: B) $y = x^2 + |x|$

Lyginės funkcijos $f(-x) = f(x)$. $(-x)^2 + |-x| = x^2 + |x|$. Funkcija $x^3$ nelyginė, kitos dvi – nei lyginės, nei nelyginės.

8. Kuris teiginys apie funkciją $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x$ teisingas?

A) Ji didėja visoje realiųjų skaičių aibėje
B) Ji mažėja visoje realiųjų skaičių aibėje
C) Ji įgyja neigiamų reikšmių
D) Jos grafikas kerta $Ox$ ašį

Atsakymas: B) Ji mažėja visoje realiųjų skaičių aibėje

Rodiklinė funkcija su pagrindu tarp 0 ir 1 mažėja. Visos jos reikšmės teigiamos, todėl grafikas $Ox$ ašies nekerta.

9. Kokia funkcijos $y = \sqrt{x - 1} + 2$ reikšmių sritis?

A) $[1; +\infty)$
B) $[2; +\infty)$
C) $(2; +\infty)$
D) $\mathbb{R}$

Atsakymas: B) $[2; +\infty)$

$\sqrt{x - 1} \ge 0$, o reikšmė 0 įgyjama, kai $x = 1$. Todėl $y \ge 2$. Intervalas $[1; +\infty)$ yra apibrėžimo, o ne reikšmių sritis.

10. Kuriame taške tiesė $y = -2x + 6$ kerta $Ox$ ašį? Užrašyk taško abscisę.

Atsakymas: $3$

$Ox$ ašyje $y = 0$: $-2x + 6 = 0$, $x = 3$.

11. Duota $f(x) = x^2 - 3$. Rask $f(f(1))$.

Atsakymas: $1$

Pirmiausia vidinė funkcija: $f(1) = 1 - 3 = -2$. Tada $f(-2) = 4 - 3 = 1$.

12. Aritmetinės progresijos $a_1 = 4$, $d = 3$. Rask $a_{20}$.

Atsakymas: $61$

$a_{20} = 4 + 19 \cdot 3 = 61$.

13. Aritmetinės progresijos $a_1 = 2$, $a_{10} = 29$. Rask pirmųjų dešimties narių sumą.

Atsakymas: $155$

$S_{10} = \frac{2 + 29}{2} \cdot 10 = 155$.

14. Aritmetinės progresijos $a_3 = 10$, $a_7 = 22$. Rask $a_{15}$.

Atsakymas: $46$

$a_7 - a_3 = 4d = 12$, $d = 3$. $a_{15} = a_7 + 8d = 22 + 24 = 46$.

15. Geometrinės progresijos $b_1 = 3$, $q = 2$. Rask $b_6$.

Atsakymas: $96$

$b_6 = 3 \cdot 2^5 = 96$.

16. Geometrinės progresijos $b_1 = 1$, $q = 3$. Rask pirmųjų penkių narių sumą.

Atsakymas: $121$

$S_5 = \frac{3^5 - 1}{3 - 1} = \frac{242}{2} = 121$. Patikrinimas: $1 + 3 + 9 + 27 + 81 = 121$.

17. Kiek pirmųjų nelyginių natūraliųjų skaičių reikia sudėti, kad suma būtų 400?

Atsakymas: $20$

Tai aritmetinė progresija $1, 3, 5, \ldots$ su $d = 2$: $S_n = \frac{2 + 2(n - 1)}{2} \cdot n = n^2$. $n^2 = 400$, $n = 20$.

18. Rask nykstamosios geometrinės progresijos sumą, kai $b_1 = 12$, $q = \frac{1}{3}$.

Atsakymas: $18$

A kurso formulė. $S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{12}{\frac{2}{3}} = 18$.

19. Geometrinės progresijos $b_1 = 81$, $q = \frac{1}{3}$. Rask $b_5$.

Atsakymas: $1$

$b_5 = 81 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^4 = \frac{81}{81} = 1$.

20. Salės pirmoje eilėje yra 20 vietų, o kiekvienoje kitoje – 2 vietomis daugiau nei ankstesnėje. Salėje 15 eilių. Kiek iš viso vietų salėje?

Atsakymas: $510$

Tai aritmetinė progresija: $a_1 = 20$, $d = 2$, $n = 15$. $a_{15} = 20 + 14 \cdot 2 = 48$. $S_{15} = \frac{20 + 48}{2} \cdot 15 = 34 \cdot 15 = 510$.