Vektoriai

Koordinatės. Vektoriaus $\overrightarrow{AB}$ koordinatės – galo koordinatės minus pradžios: jei $A(x_1; y_1)$, $B(x_2; y_2)$, tai $\overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1; y_2 - y_1)$. Atkarpos vidurio taškas $\left(\frac{x_1 + x_2}{2}; \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$.

Ilgis. $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$, kai $\vec{a} = (x; y)$.

Veiksmai. Vektoriai sudedami ir atimami koordinatėmis, dauginant iš skaičiaus dauginama kiekviena koordinatė.

Kolinearumas. Vektoriai kolinearūs, kai jų koordinatės proporcingos: $\vec{b} = k\vec{a}$.

Skaliarinė sandauga. $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2 = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cos \alpha$. Iš čia:

• $\vec{a} \perp \vec{b}$, kai $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$;
• $\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$;
• $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$.

Lygiagretainis. Lygiagretainyje $ABCD$ $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$, todėl ketvirtosios viršūnės koordinatės $D = A + C - B$.

Formulių rinkinyje. Vektoriaus ilgio ir skaliarinės sandaugos formulės yra tik A kurso rinkinyje. Tokie uždaviniai pažymėti „A kurso formulė“.

1. Rask vektoriaus $\vec{a} = (3; 4)$ ilgį.

Atsakymas: $5$

A kurso formulė. $|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$.

2. Duoti taškai $A(2; -1)$ ir $B(-1; 3)$. Kokios vektoriaus $\overrightarrow{AB}$ koordinatės?

A) $(-3; 4)$
B) $(3; -4)$
C) $(1; 2)$
D) $(-3; 2)$

Atsakymas: A) $(-3; 4)$

Iš galo koordinačių atimame pradžios koordinates: $(-1 - 2; 3 - (-1)) = (-3; 4)$.

3. Duoti taškai $A(1; 2)$ ir $B(4; 6)$. Rask atkarpos $AB$ ilgį.

Atsakymas: $5$

$\overrightarrow{AB} = (3; 4)$, $|AB| = \sqrt{9 + 16} = 5$.

4. Duoti taškai $A(2; -1)$ ir $B(-4; 5)$. Rask atkarpos $AB$ vidurio taško abscisę.

Atsakymas: $-1$

$x = \frac{2 + (-4)}{2} = -1$.

5. Duoti $\vec{a} = (1; -2)$ ir $\vec{b} = (3; 5)$. Kokios vektoriaus $\vec{a} + \vec{b}$ koordinatės?

A) $(4; 3)$
B) $(2; 7)$
C) $(-2; -7)$
D) $(4; -3)$

Atsakymas: A) $(4; 3)$

$(1 + 3; -2 + 5) = (4; 3)$.

6. Duoti $\vec{a} = (1; -2)$ ir $\vec{b} = (3; 5)$. Kokios vektoriaus $2\vec{a} - \vec{b}$ koordinatės?

A) $(-1; -9)$
B) $(5; 1)$
C) $(-1; 1)$
D) $(1; 9)$

Atsakymas: A) $(-1; -9)$

$2\vec{a} = (2; -4)$, $(2 - 3; -4 - 5) = (-1; -9)$.

7. Vektoriai $\vec{a} = (2; 3)$ ir $\vec{b} = (6; m)$ kolinearūs. Rask $m$.

Atsakymas: $9$

Kolinearių vektorių koordinatės proporcingos: $\frac{6}{2} = \frac{m}{3}$, $m = 9$.

8. Rask vektoriaus $\vec{a} = (-6; 8)$ ilgį.

Atsakymas: $10$

A kurso formulė. $|\vec{a}| = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$. Neigiama koordinatė keliant kvadratu tampa teigiama.

9. Vektoriai $\vec{a} = (2; -3)$ ir $\vec{b} = (x; 6)$ kolinearūs. Rask $x$.

Atsakymas: $-4$

Antroji koordinatė padidėjo $6 : (-3) = -2$ kartus, todėl $\vec{b} = -2\vec{a}$ ir $x = -2 \cdot 2 = -4$.

10. Lygiagretainio $ABCD$ viršūnės $A(1; 1)$, $B(4; 2)$, $C(6; 5)$. Rask viršūnės $D$ abscisę.

Atsakymas: $3$

$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} = (6 - 4; 5 - 2) = (2; 3)$. $D = (1 + 2; 1 + 3) = (3; 4)$.

11. Rask vektorių $\vec{a} = (2; 3)$ ir $\vec{b} = (4; -1)$ skaliarinę sandaugą.

Atsakymas: $5$

A kurso formulė. $2 \cdot 4 + 3 \cdot (-1) = 8 - 3 = 5$.

12. Su kuria $k$ reikšme vektoriai $\vec{a} = (2; k)$ ir $\vec{b} = (3; -6)$ statmeni?

Atsakymas: $1$

A kurso formulė. Statmenų vektorių skaliarinė sandauga lygi nuliui: $6 - 6k = 0$, $k = 1$.

13. Rask kampą (laipsniais) tarp vektorių $\vec{a} = (1; 0)$ ir $\vec{b} = (1; 1)$.

Atsakymas: $45^\circ$

A kurso formulė. $\cos \alpha = \frac{1}{1 \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\alpha = 45^\circ$.

14. Rask kampą (laipsniais) tarp vektorių $\vec{a} = (1; \sqrt{3})$ ir $\vec{b} = (\sqrt{3}; 1)$.

Atsakymas: $30^\circ$

A kurso formulė. $\vec{a} \cdot \vec{b} = \sqrt{3} + \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$, abiejų ilgiai lygūs 2. $\cos \alpha = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\alpha = 30^\circ$.

15. Rask kampą (laipsniais) tarp vektorių $\vec{a} = (1; 2)$ ir $\vec{b} = (2; -1)$.

Atsakymas: $90^\circ$

A kurso formulė. $\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 - 2 = 0$, todėl vektoriai statmeni.

16. $|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 4$, kampas tarp jų $60^\circ$. Rask $\vec{a} \cdot \vec{b}$.

Atsakymas: $6$

A kurso formulė. $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 4 \cdot \cos 60^\circ = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$.

17. $|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 4$, kampas tarp jų $60^\circ$. Rask $|\vec{a} + \vec{b}|^2$.

Atsakymas: $37$

A kurso formulė. $|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 2\,\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 = 9 + 12 + 16 = 37$.

18. Duota $\vec{a} = (2; 5)$. Rask $\vec{a} \cdot \vec{a}$.

Atsakymas: $29$

A kurso formulė. $2 \cdot 2 + 5 \cdot 5 = 29$. Tai lygu $|\vec{a}|^2$.